Зміст

• кроки
• Метод 1 з 2: Алгебраїчний спосіб
• Метод 2 з 2: Графічний спосіб
• Поради
• попередження

Функції бувають парними, непарними або загального вигляду (тобто ні парними, ні непарними). Вид функції залежить від наявності або відсутності симетрії. Кращий спосіб визначити вид функції - це виконати ряд алгебраїчних обчислень. Але вид функції можна з'ясувати і по її графіку. Якщо навчитися визначати вид функцій, можна передбачати поведінку певних поєднань функцій.

кроки

Метод 1 з 2: Алгебраїчний спосіб

1. 1 Запам'ятайте, що таке протилежні значення змінних. В алгебрі протилежне значення змінної записується зі знаком «-» (мінус). Причому це вірно при будь-якому позначенні незалежної змінної (буквою ${ Displaystyle x}$ або будь-який інший буквою). Якщо у вихідній функції перед змінної вже стоїть негативний знак, то її протилежним значенням буде позитивна змінна. Нижче наведені приклади деяких змінних і їх протилежних значень:
   • Протилежним значенням для ${ Displaystyle x}$ є ${ Displaystyle -x}$.
   • Протилежним значенням для ${ Displaystyle q}$ є ${ Displaystyle -q}$.
   • Протилежним значенням для ${ Displaystyle -w}$ є ${ Displaystyle w}$.
2. 2 Замініть незалежну змінну на її протилежне значення. Тобто поміняйте знак незалежної змінної на протилежний. наприклад:
   • ${ Displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ перетворюється в ${ Displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ Displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ перетворюється в ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ Displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ перетворюється в ${ Displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Спростіть нову функцію. На цьому етапі замість незалежної змінної не потрібно підставляти певні числові значення. Необхідно просто спростити нову функцію f (-x), щоб порівняти її з вихідною функцією f (x). Згадайте основне правило піднесення до степеня: при зведенні негативною змінної в парну ступінь вийде позитивна змінна, а при зведенні негативною змінної в непарну ступінь вийде негативна змінна.
   • ${ Displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ Displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ Displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ Displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ Displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Порівняйте дві функції. Порівняйте спрощену нову функцію f (-x) з вихідною функцією f (x). Запишіть відповідні члени обох функцій один під одним і порівняйте їх знаки.
   • Якщо знаки відповідних членів обох функцій збігаються, тобто f (x) = f (-x), початкова функція парна. приклад:
     • ${ Displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ і ${ Displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Тут знаки членів збігаються, тому початкова функція парна.
   • Якщо знаки відповідних членів обох функцій протилежні одна одній, тобто f (x) = -f (-x), початкова функція парна. приклад:
     • ${ Displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, але ${ Displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Зверніть увагу, що якщо помножити кожен член першої функції на -1, вийде друга функція. Таким чином, початкова функція g (x) є непарною.
   • Якщо нова функція не відповідає жодному з наведених прикладів, то вона є функцією загального вигляду (тобто ні парною, ні непарною). наприклад:
     • ${ Displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, але ${ Displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$. Знаки перших членів обох функцій однакові, а знаки друге членів протилежні. Тому ця функція є ні парною, ні непарною.

Метод 2 з 2: Графічний спосіб

1. 1 Побудуйте графік функції. Для цього скористайтеся міліметрівкою або графічним калькулятором. Виберіть декілька довільних числових значень незалежної змінної ${ Displaystyle x}$ і підставте їх в функцію, щоб обчислити значення залежної змінної ${ Displaystyle y}$. Знайдені координати точок нанесіть на координатну площину, а потім з'єднайте ці точки, щоб побудувати графік функції.
   • У функцію підставте позитивні числові значення ${ Displaystyle x}$ і відповідні негативні числові значення. Наприклад, дана функція ${ Displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$. Підставте в неї наступні значення ${ Displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$. Отримали точку з координатами ${ Displaystyle (1,3)}$.
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$. Отримали точку з координатами ${ Displaystyle (2,9)}$.
     • ${ Displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$. Отримали точку з координатами ${ Displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ Displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$. Отримали точку з координатами ${ Displaystyle (-2,9)}$.
2. 2 Перевірте, симетричний чи графік функції щодо осі Y. Під симетрією мається на увазі дзеркальне відображення графіка відносно осі ординат. Якщо частина графіка праворуч від осі Y (позитивні значення незалежної змінної) збігається з частиною графіка зліва від осі Y (негативні значення незалежної змінної), графік симетричний відносно осі Y. Якщо функція симетрична щодо осі ординат, така функція парна.
   • Перевірити симетричність графіка можна по окремих точках. якщо значення ${ Displaystyle y}$, Яке відповідає значенню ${ Displaystyle x}$, Збігається зі значенням ${ Displaystyle y}$, Яке відповідає значенню ${ Displaystyle -x}$, Функція є парною.У нашому прикладі з функцією ${ Displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ ми отримали наступні координати точок:
     • (1,3) і (-1,3)
     • (2,9) і (-2,9)
   • Зверніть увагу, що при x = 1 і x = -1 залежна змінна у = 3, а при x = 2 і x = -2 залежна змінна у = 9. Таким чином, функція парна. Насправді, щоб точно з'ясувати вид функції, потрібно розглянути більше двох точок, але описаний спосіб є хорошим наближенням.
3. 3 Перевірте, симетричний чи графік функції щодо початку координат. Початок координат - це точка з координатами (0,0). Симетрія відносно початку координат означає, що позитивного значення ${ Displaystyle y}$ (При позитивному значенні ${ Displaystyle x}$) Відповідає від'ємне значення ${ Displaystyle y}$ (При від'ємному значенні ${ Displaystyle x}$), і навпаки. Непарні функції мають симетрією щодо початку координат.
   • Якщо в функцію підставити кілька позитивних і відповідних негативних значень ${ Displaystyle x}$, значення ${ Displaystyle y}$ будуть відрізнятися за знаком. Наприклад, дана функція ${ Displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$. Підставте в неї кілька значень ${ Displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$. Отримали точку з координатами (1,2).
     • ${ Displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$. Отримали точку з координатами (-1, -2).
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$. Отримали точку з координатами (2,10).
     • ${ Displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$. Отримали точку з координатами (-2, -10).
   • Таким чином, f (x) = -f (-x), тобто функція непарна.
4. 4 Перевірте, чи має графік функції якусь симетрію. Останній вид функції - це функція, графік якої не має симетрії, тобто дзеркальне відображення відсутня як щодо осі ординат, так і щодо початку координат. Наприклад, дана функція ${ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • У функцію підставте кілька позитивних і відповідних негативних значень ${ Displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$. Отримали точку з координатами (1,4).
     • ${ Displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$. Отримали точку з координатами (-1, -2).
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$. Отримали точку з координатами (2,10).
     • ${ Displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$. Отримали точку з координатами (2, -2).
   • Згідно з отриманими результатами, симетрії немає. значення ${ Displaystyle y}$ для протилежних значень ${ Displaystyle x}$ не збігаються і не є протилежними. Таким чином, функція є ні парною, ні непарною.
   • Зверніть увагу, що функцію ${ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ можна записати так: ${ Displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$. Будучи записаної в такій формі, функція здається парної, тому що присутня парний показник ступеня. Але цей приклад доводить, що вигляд функції не можна швидко визначити, якщо незалежна змінна укладена в дужки. В цьому випадку потрібно розкрити дужки і проаналізувати отримані показники ступеня.

Поради

• Якщо показник ступеня незалежної змінної парний, то функція парна; якщо ж показник ступеня непарний, функція непарна.

попередження

• Дану статтю можна застосувати тільки до функцій з двома змінними, значення яких можна нанести на площину координат.