Зміст

• кроки
• Метод 1 з 3: Як знайти невідому сторону
• Метод 2 з 3: Як знайти невідомий кут
• Метод 3 з 3: Приклади задач
• Поради

Теорема косинусів широко застосовується в тригонометрії. Її використовують при роботі з неправильними трикутниками, щоб знаходити невідомі величини, наприклад сторони і кути. Теорема схожа з теорема Піфагора, і її досить легко запам'ятати. Теорема косинусів говорить, що в будь-якому трикутнику ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

кроки

Метод 1 з 3: Як знайти невідому сторону

1. 1 Запишіть відомі величини. Щоб знайти невідому сторону трикутника, потрібно знати дві інші сторони і кут між ними.
   • Наприклад, дано трикутник XYZ. Сторона YX дорівнює 5 см, сторона YZ дорівнює 9 см, а кут Y дорівнює 89 °. Чому дорівнює сторона XZ?
2. 2 Запишіть формулу теореми косинусів. Формула: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, де ${ Displaystyle c}$ - невідома сторона, ${ Displaystyle cos {C}}$ - косинус кута, протилежного невідомої стороні, ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ - дві відомі боку.
3. 3 Підставте відомі значення в формулу. змінні ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ позначають дві відомі боку. Мінлива ${ Displaystyle C}$ - це відомий кут, який лежить між сторонами ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$.
   • У нашому прикладі сторона XZ невідома, тому у формулі вона позначена як ${ Displaystyle c}$. Так як сторони YX і YZ відомі, вони позначені змінними ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$. Мінлива ${ Displaystyle C}$ - це кут Y. Отже, формула запишеться наступним чином: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Знайдіть косинус відомого кута. Зробіть це за допомогою калькулятора. Введіть значення кута, а потім натисніть кнопку ${ Displaystyle COS}$. Якщо у вас немає наукового калькулятора, знайдіть онлайн-таблицю значень косинусів, наприклад, тут. Також в Яндексі можна ввести «косинус Х градусів» (замість X підставте значення кута), і пошукова система відобразить косинус кута.
   • Наприклад, косинус 89 ° ≈ 0,01745. Отже: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Перемножте числа. помножте ${ Displaystyle 2ab}$ на косинус відомого кута.
   • наприклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Складіть квадрати відомих сторін. Пам'ятайте, щоб звести число в квадрат, його потрібно помножити на саме себе. Спочатку зведіть в квадрат відповідні числа, а потім складіть отримані значення.
   • наприклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Відніміть два числа. Ви знайдете ${ Displaystyle c ^ {2}}$.
   • наприклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Вийміть квадратний корінь з отриманого значення. Для цього скористайтеся калькулятором. Так ви знайдете невідому сторону.
   • наприклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104,4293}}}$
     ${ Displaystyle c = 10,2191}$
     Отже, невідома сторона дорівнює 10,2191 см.

Метод 2 з 3: Як знайти невідомий кут

1. 1 Запишіть відомі величини. Щоб знайти невідомий кут трикутника, потрібно знати всі три сторони трикутника.
   • Наприклад, дано трикутник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Знайдіть значення кута S.
2. 2 Запишіть формулу теореми косинусів. Формула: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, де ${ Displaystyle cos {C}}$ - косинус невідомого кута, ${ Displaystyle c}$ - відома сторона, протилежна невідомому кутку, ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ - дві інші відомі боку.
3. 3 Знайдіть значення a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b} і c{ Displaystyle c}. Потім підставте їх в формулу.
   • Наприклад, сторона RT протилежна невідомому кутку S, тому сторона RT - це ${ Displaystyle c}$ у формулі. Інші сторони будуть ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$. Отже, формула запишеться наступним чином: ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Перемножте числа. помножте ${ Displaystyle 2ab}$ на косинус невідомого кута.
   • наприклад, ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 зведіть c{ Displaystyle c} в квадрат. Тобто помножте число саме себе.
   • наприклад, ${ Displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 складіть квадрати a{ Displaystyle a} і b{ Displaystyle b}. Але спочатку зведіть відповідні числа в квадрат.
   • наприклад:
     ${ Displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Ізолюйте косинус невідомого кута. Для цього відніміть суму ${ Displaystyle a ^ {2}}$ і ${ Displaystyle b ^ {2}}$ з обох частин рівняння. Потім розділіть кожну частину рівняння на коефіцієнт (множник) при косинусів невідомого кута.
   • Наприклад, щоб ізолювати косинус невідомого кута, відніміть 164 з обох сторін рівняння, а потім розділіть кожну сторону на -160:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ Displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Обчисліть арккосинус. Так ви знайдете значення невідомого кута. На калькуляторі функція арккосинуса позначається ${ Displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Наприклад, арккосинус 0,0125 дорівнює 82,8192. Отже, кут S дорівнює 82,8192 °.

Метод 3 з 3: Приклади задач

1. 1 Знайдіть невідому сторону трикутника. Відомі сторони рівні 20 см і 17 см, а кут між ними дорівнює 68 °.
   • Так як дано дві сторони і кут між ними, можна використовувати теорему косинусів. Запишіть формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Невідома сторона - це ${ Displaystyle c}$. Підставте відомі значення в формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Обчисліть ${ Displaystyle c ^ {2}}$, Дотримуючись порядок математичних операцій:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння. Так ви знайдете невідому сторону:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434,2675}}}$
     ${ Displaystyle c = 20,8391}$
     Отже, невідома сторона дорівнює 20,8391 см.
2. 2 Знайдіть кут H в трикутнику GHI. Дві сторони, прилеглі до кута Н, рівні 22 і 16 см. Сторона, протилежна куту H, дорівнює 13 см.
   • Так як дані всі три сторони, можна використовувати теорему косинусів. Запишіть формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Сторона, протилежна невідомому кутку, - це ${ Displaystyle c}$. Підставте відомі значення в формулу: ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Спростіть отриманий вираз:
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Ізолюйте косинус:
     ${ Displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ Displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
   • Знайдіть арккосинус. Так ви обчисліть невідомий кут:
     ${ Displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
     ${ Displaystyle 35,7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Таким чином, кут H дорівнює 35,7985 °.
3. 3 Знайдіть довжину стежки. Річкова, Горбиста і Болотна стежки утворюють трикутник. Довжина Річковий стежки - 3 км, довжина Горбистій стежки - 5 км; ці стежки перетинаються один з одним під кутом 135 °. Болотяна стежка з'єднує два кінці інших стежок. Знайдіть довжину Болотній стежки.
   • Стежки утворюють трикутник. Потрібно знайти довжину невідомої стежки, яка представляє собою сторону трикутника. Так як дані довжини двох інших стежок і кут між ними, можна використовувати теорему косинусів.
   • Запишіть формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Невідому стежку (Болотну) позначимо як ${ Displaystyle c}$. Підставте відомі значення в формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Обчисліть ${ Displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21,2132)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21,2132}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Вийміть квадратний корінь з обох сторін рівняння. Так ви знайдете довжину невідомої стежки:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55,2132}}}$
     ${ Displaystyle c = 7,4306}$
     Отже, довжина Болотній стежки дорівнює 7,4306 км.

Поради

• Простіше користуватися теоремою синусів. Тому спочатку з'ясуйте, чи можна застосувати її до даної задачі.