Зміст

• кроки
• Частина 1 з 2: Знаходження простих множників
• Частина 2 з 2: Використання розкладання на прості множники
• приклади завдань
• Поради
• попередження

Будь-яке натуральне число можна розкласти на твір простих множників. Якщо ви не любите мати справу з великими числами, такими як 5733, навчитеся розкладати їх на прості множники (в даному випадку це 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подібне завдання часто зустрічається в криптографії, яка займається проблемами інформаційної безпеки. Якщо ви ще не готові створити власну систему безпечної електронної пошти, для початку навчитеся розкладати числа на прості множники.

кроки

Частина 1 з 2: Знаходження простих множників

1. 1 Дізнайтеся, що таке розкладання числа на множники. Розкладання числа на твір множників є процес його "розбиття" на більш дрібні частини.При перемножуванні ці частини, або множники, дають початкове число.
   • Наприклад, число 18 можна розкласти на такі твори: 1 x 18, 2 x 9, або 3 x 6.
2. 2 Згадайте, що таке прості числа. Просте число ділиться без залишку лише на два числа: на саме себе і на 1. Наприклад, число 5 можна представити у вигляді добутку 5 і 1. Це число не можна розкласти на інші множники. Мета розкладання числа на прості множники полягає в тому, щоб представити його у вигляді добутку простих чисел. Це особливо зручно при операціях з дробом, так як дозволяє порівнювати і спрощувати їх.
3. 3 Почніть з вихідного числа. Виберіть складене число більше 3. Немає сенсу брати просте число, тому що воно ділиться лише на саме себе і одиницю.
   • Приклад: розкладемо на твір простих чисел число 24.
4. 4 Розкладемо дане число на твір двох множників. Знайдемо два менших числа, твір яких одно вихідного числа. Можна використовувати будь-які множники, але простіше взяти прості числа. Один з хороших способів полягає в тому, щоб спробувати поділити вихідне число спочатку на 2, потім на 3, потім на 5 і перевірити, на які з цих простих чисел воно ділиться без залишку.
   • Приклад: якщо ви не знаєте множників для числа 24, спробуйте поділити його на малі прості числа. Так ви виявите, що дане число ділиться на 2: 24 = 2 x 12. Це гарний початок.
   • Оскільки 2 є простим числом, його добре використовувати при розкладанні парних чисел.
5. 5 Почніть будувати дерево множників. Ця проста процедура допоможе вам розкласти число на прості множники. Для початку проведіть від вихідного числа дві "гілки" вниз. На кінці кожної гілки напишіть знайдені множники.
   • приклад:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Розкладіть на множники наступний рядок чисел. Погляньте на два нових числа (другий рядок дерева множників). Обидва вони відносяться до простих чисел? Якщо одне з них не є простим, також розкладіть його на два множники. Проведіть ще дві гілки і напишіть два нових множника в третьому рядку дерева.
   • Приклад: 12 не є простим числом, тому його слід розкласти на множники. Використовуємо розкладання 12 = 2 x 6 і запишемо його в третьому рядку дерева:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Продовжуйте рухатися вниз по дереву. Якщо один з нових множників виявиться простим числом, проводите від нього одну "гілку" і пишіть на її кінці це ж число. Прості цифри не розкладаються на менші множники, тому просто переносите їх на рівень нижче.
   • Приклад: 2 є простим числом. Просто перенесіть 2 з другої в третю рядок:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Продовжуйте розкладати числа на множники, поки у вас не залишаться одні прості числа. Перевіряйте кожну нову рядок дерева. Якщо хоч один з нових множників не є простим числом, розкладіть його на множники і запишіть новий рядок. Зрештою у вас залишаться одні прості числа.
   • Приклад: 6 не є простим числом, тому його також слід розкласти на множники. У той же час 2 являє собою просте число, і ми переносимо дві двійки на наступний рівень:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Запишіть останній рядок у вигляді добутку простих множників. Зрештою у вас залишаться одні прості числа. Коли це трапиться, розкладання на прості множники завершено. Останній рядок являє собою набір простих чисел, твір яких дає вихідне число.
   • Перевірте відповідь: перемножте стоять в останньому рядку числа. В результаті має вийти вихідне число.
   • Приклад: в останньому рядку дерева множників містяться числа 2 і 3. Обидва цих числа є простими, тому розкладання завершено. Таким чином, розкладання числа 24 на прості множники має наступний вигляд: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Порядок множників не має значення. Розкладання можна записати також у вигляді 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 При бажанні спростите відповідь за допомогою степеневої записи. Якщо ви знайомі зі зведенням чисел в ступінь, можна записати отриманий відповідь в більш простому вигляді.Пам'ятайте, що внизу записується підставу, а використовують наголоси число показує, скільки разів це підстава слід помножити на саме себе.
    • Приклад: скільки разів зустрічається число 2 в знайденому розкладанні 2 x 2 x 2 x 3? Три рази, тому вираз 2 x 2 x 2 можна записати у вигляді 2. У спрощеній записи отримуємо 2 x 3.

Частина 2 з 2: Використання розкладання на прості множники

1. 1 Знайдіть найбільший спільний дільник двох чисел. Найбільшим спільним дільником (НСД) двох чисел називається максимальне число, на яке обидва числа діляться без залишку. У наведеному нижче прикладі показано, як за допомогою розкладання на прості множники знайти найбільший спільний дільник чисел 30 і 36.
   • Розкладемо обидва числа на прості множники. Для числа 30 розкладання має вигляд 2 x 3 x 5. Число 36 розкладається на прості множники таким чином: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Знайдемо число, яке зустрічається в обох розкладах. Перекреслимо це число в обох списках і напишемо його з нового рядка. Наприклад, 2 зустрічається в двох разложениях, тому запишемо 2 в новому рядку. Після цього у нас залишається 30 = 2 x 3 x 5 і 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Повторюйте цю дію, поки в розкладах не залишиться загальних множників. В обох списків входить також число 3, тому в новому рядку можна записати 2 і 3. Після цього знову порівняйте розкладання: 30 = 2 x 3 x 5 і 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Як видно, в них не залишилося загальних множників.
   • Щоб знайти найбільший спільний дільник, слід знайти твір всіх загальних множників. У нашому прикладі це 2 і 3, тому НСД дорівнює 2 x 3 = 6. Це найбільше число, на яке діляться без залишку числа 30 і 36.
2. 2 За допомогою НСД можна спрощувати дробу. Якщо ви підозрюєте, що якусь дріб можна скоротити, використовуйте найбільший спільний дільник. За описаною вище процедурою знайдіть НСД чисельника і знаменника. Після цього поділіть чисельник і знаменник дробу на це число. В результаті ви отримаєте ту ж дріб в більш простому вигляді.
   • Наприклад, спростимо дріб /₃₆. Як ми встановили вище, для 30 і 36 НОД дорівнює 6, тому поділимо чисельник і знаменник на 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Знайдемо найменше спільне кратне двох чисел. Найменше спільне кратне (НОК) двох чисел - це найменше число, яке ділиться без залишку на обидва даних числа. Наприклад, НОК 2 і 3 є 6, оскільки це найменше число, яке ділиться на 2 і 3. Нижче наведено приклад знаходження НОК за допомогою розкладання на прості множники:
   • Почнемо з двох розкладів на прості множники. Наприклад, для числа 126 розкладання можна записати як 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 розкладається на прості множники у вигляді 2 x 2 x 3 x 7.
   • Порівняємо, скільки разів кожен множник зустрічається в розкладах. Виберіть той список, де множник зустрічається максимальне число раз, і обведіть це місце. Наприклад, число 2 зустрічається один раз в розкладанні для числа 126 і двічі в списку для 84, тому слід обвести 2 x 2 у другому списку множників.
   • Повторіть цей крок для кожного множника. Наприклад, 3 зустрічається частіше в першому розкладанні, тому слід обвести в ньому 3 x 3. Число 7 зустрічається по одному разу в обох списках, так що обводимо 7 (Неважливо в якому списку, якщо даний множник зустрічається в обох списках однакове число раз).
   • Щоб знайти НОК, перемножте все обведені числа. У нашому прикладі найменшим спільним кратним чисел 126 і 84 є 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Це найменше число, яке ділиться на 126 і 84 без залишку.
4. 4 Використовуйте НОК для складання дробів. При складанні двох дробів необхідно привести їх до спільного знаменника. Для цього знайдіть НОК двох знаменників. Потім помножте чисельник і знаменник кожного дробу на таке число, щоб знаменники дробів стали рівні НОК. Після цього можна скласти дробу.
   • Наприклад, необхідно знайти суму /₆ + /₂₁.
   • За допомогою наведеного вище методу можна знайти НОК для 6 і 21. Воно дорівнює 42.
   • Перетворимо дріб /₆ так, щоб її знаменник дорівнював 42. Для цього необхідно поділити 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Тепер помножимо чисельник і знаменник дробу на 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • Щоб привести другу дріб до знаменника 42, поділимо 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Помножимо чисельник і знаменник дробу на 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • Після того як дробу приведені до однакового знаменника, їх можна легко скласти: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

приклади завдань

• Спробуйте вирішити наведені нижче завдання самостійно.Якщо ви вважаєте, що отримали правильну відповідь, виділіть мишкою місце після двокрапки в умові завдання. Останні завдання найбільш складні.
• Знайдіть розкладання на прості множники для числа 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Запишіть відповідь у статечної формі: 2
• Знайдіть розкладання на прості множники для числа 45: 3 x 3 x 5
• Запишіть відповідь у статечної формі: 3 x 5
• Знайдіть розкладання на прості множники для числа 34: 2 x 17
• Знайдіть розкладання на прості множники для числа 154: 2 x 7 x 11
• Знайдіть розкладання на прості множники для чисел 8 і 40, а потім визначте їх найбільший спільний дільник: розкладання на прості множники числа 8 має вигляд 2 x 2 x 2 x 2; розкладання на прості множники числа 40 має вигляд 2 x 2 x 2 x 5; НСД двох чисел 2 x 2 x 2 = 6.
• Знайдіть розкладання на прості множники для чисел 18 і 52 і знайдіть їх найменше спільне кратне: розкладання на прості множники числа 18 має вигляд 2 x 3 x 3; розкладання на прості множники числа 52 має вигляд 2 x 2 x 13; НСК двох чисел становить 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Поради

• Кожне число має характерне для нього єдине розкладання на прості множники. Неважливо, яким чином ви знаходите це розкладання, в кінці повинен вийти один і той же відповідь. Це називається основною теоремою арифметики.
• Замість того щоб кожен раз переписувати прості числа в новому рядку дерева множників, можна залишати їх на місці і просто обводити. Після закінчення розкладання в нього увійдуть всі обведені прості множники.
• Завжди перевіряйте отриману відповідь. Ви можете допустити помилку і не помітити цього.
• Будьте готові до завдань із секретом. Якщо вас просять знайти розкладання на прості множники простого числа, немає необхідності проводити будь-які обчислення. Наприклад, для числа 17 розкладанням на прості множники буде 17; це число не розкладається на інші прості множники.
• Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне можна знайти для трьох і більше чисел.

попередження

• Дерево множників дозволяє визначити лише прості, а не всі можливі множники.