Зміст

• Крок
• Метод 1 з 2: Витягування коріння з простими факторами
• Метод 2 з 2: Пошук квадратних коренів без калькулятора
• При тривалому поділі
• Зрозумійте процедуру
• Поради
• Попередження

До появи калькуляторів як студентам, так і професорам доводилося обчислювати квадратні корені пером і папером. У той час були розроблені різні методики для вирішення цієї інколи складної роботи, деякі з яких дають приблизну оцінку, а інші обчислюють точну вартість. Читайте далі, щоб дізнатися, як знайти квадратний корінь із числа за кілька простих кроків.

Крок

Метод 1 з 2: Витягування коріння з простими факторами

1. Поділіть своє число на коефіцієнти потужності. Цей метод використовує множники числа, щоб знайти квадратний корінь числа (залежно від числа, це може бути точна відповідь або оцінка). фактори даного числа - це будь-яка послідовність чисел, яку множать разом, утворюючи це конкретне число. Наприклад, ви можете сказати, що множники 8 дорівнюють 2 і 4, оскільки 2 × 4 = 8. Ідеальні квадрати, навпаки, є цілими числами, які є добутком інших цілих чисел. Наприклад, 25, 36 і 49 - ідеальні квадрати, оскільки вони дорівнюють відповідно 5, 6 і 7. Другі коефіцієнти потужності, як ви зрозуміли, - це фактори, які також є ідеальними квадратами. Щоб знайти квадратний корінь за допомогою простих множників, спершу спробуйте розділити число на його другі коефіцієнти потужності.
   • Візьмемо такий приклад. Ми знайдемо квадратний корінь з 400. Для початку поділимо число на коефіцієнти потужності. Оскільки 400 кратно 100, ми знаємо, що воно рівномірно ділиться на 25 - ідеальний квадрат. Швидке проходження повідомляє нам, що 400/25 = 16,16 також є ідеальним квадратом. Отже, коефіцієнти куба 400 складають 25 і 16 тому що 25 × 16 = 400.
   • Запишемо це як: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Візьміть квадратні корені ваших других факторів потужності. Правило добутку квадратних коренів стверджує, що для будь-якого заданого числа a і b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Через цю властивість ми тепер можемо взяти квадратні корені коефіцієнтів квадратів і помножити їх разом, щоб отримати відповідь.
   • У нашому прикладі ми беремо квадратні корені з 25 і 16. Дивіться нижче:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Якщо ваш номер неможливо розрахувати ідеально, спростіть його. Насправді числа, з яких ви хочете визначити квадратні корені, не будуть приємними округлими числами з приємними квадратами, такими як 400. У цих випадках можливо неможливо отримати ціле число як відповідь. Натомість, використовуючи всі фактори потужності, які ви можете знайти, ви можете визначити відповідь як менший, простіший у використанні квадратний корінь. Ви робите це, зменшуючи число до поєднання факторів потужності та інших факторів, а потім спрощуючи його.
   • Візьмемо для прикладу квадратний корінь із 147. 147 не є добутком двох ідеальних квадратів, тому ми не можемо отримати гарне ціле значення. Але це добуток ідеального квадрата та іншого числа - 49 та 3. Ми можемо використати цю інформацію, щоб написати свою відповідь найпростішими словами:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Квадрат (3)
4. За потреби спростіть. Використовуючи квадратний корінь найпростішими словами, зазвичай досить просто отримати приблизну оцінку відповіді, оцінивши решта квадратних коренів і помноживши їх. Одним із способів покращити ваші здогади є пошук ідеальних квадратів по обидві сторони числа у вашому квадратному корені. Ви знаєте, що десяткове значення числа у вашому квадратному корені знаходиться десь посередині між цими двома числами, тому ваша здогадка також повинна бути між цими числами.
   • Повернемось до нашого прикладу. Оскільки 2 = 4 і 1 = 1, ми знаємо, що Sqrt (3) знаходиться між 1 і 2 - можливо, ближче до 2, ніж 1. За підрахунками 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Якщо ми перевіримо це за допомогою калькулятора, ми побачимо, що ми досить близько до відповіді: 12,13.
     • Це також працює для більших чисел. Наприклад, sqrt (35) знаходиться приблизно між 5 і 6 (можливо, ближче до 6). 5 = 25 і 6 = 36,35 знаходиться між 25 і 36, тому квадратний корінь буде між 5 і 6. Оскільки 35 трохи нижче 36, ми можемо з певною впевненістю сказати, що квадратний корінь з нього просто менше 6. Перевірка за допомогою калькулятора дає нам відповідь приблизно 5,92 - ми мали рацію.
5. Як перший крок, ви можете спростити число до найменш загальне кратне. Пошук коефіцієнтів потужності не є необхідним, якщо ви легко можете знайти прості множники числа (множники, які одночасно є і простими числами). Запишіть число через найменші загальні кратні. Потім знайдіть між вашими множниками відповідність пар простих чисел. Коли ви знайдете два простих множника, які збігаються, вилучіть їх із квадратного кореня та розмістіть a цих чисел поза знаком квадратного кореня.
   • Наприклад, за допомогою цього методу ми визначаємо квадратний корінь із 45. Ми знаємо, що 45 = 9 × 5, а 9 = 3 × 3. Тож ми можемо записати квадратний корінь так: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто видаліть 3 і поставте 3 поза квадратним коренем, щоб отримати спрощений квадратний корінь: (3) Sqrt (5). Тепер ви можете легко зробити оцінку.
   • Останній приклад; визначаємо квадратний корінь з 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). У нашому квадратному корені є кілька значень 2. Оскільки 2 є простим, ми можемо видалити пару і розмістити 2 поза коренем.
     • = Наш найпростіший квадратний корінь дорівнює (2) Sqrt (2 × 11) або (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Тепер ми можемо підійти до Sqrt (2) і Sqrt (11) і знайти приблизну відповідь, якщо б ми цього хотіли.

Метод 2 з 2: Пошук квадратних коренів без калькулятора

При тривалому поділі

1. Розділіть цифри свого числа на пари. Цей метод подібний до тривалого поділу, який дозволяє розділити точний квадратний корінь із числа цифра за цифрою. Хоча це не є суттєвим, розбиття числа на працездатні частини може полегшити рішення, особливо якщо воно довге. Спочатку намалюйте вертикальну лінію, що розділяє робочу зону на 2 зони, потім коротшу лінію біля верхньої частини правої області, розділяючи її на меншу верхню частину і більшу частину знизу. Потім розділіть число на пари чисел, починаючи з десяткової коми. За цим правилом 79520789182.47897 стає "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Напишіть це число у верхній лівій області.
   • Як приклад, давайте обчислимо квадратний корінь з 780,14. Розділіть робочий простір, як зазначено вище, і напишіть "7 80, 14" у верхньому лівому куті. Це нормально, якщо вкрай ліворуч замість двох є лише одне число. Потім ви пишете відповідь (квадратний корінь 780,14) у верхній частині правої області.
2. Знайдіть найбільше ціле число n чий квадрат менше або дорівнює самій лівій цифрі або числу. Знайдіть найбільший квадрат, який менше або дорівнює цьому числу, а потім знайдіть квадратний корінь цього квадрата. Цей номер є n. Запишіть це у верхній правій області та напишіть квадрат n у нижньому квадранті цієї області.
   • У нашому прикладі крайньою лівою цифрою є число 7. Оскільки ми знаємо, що 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, ми можемо сказати, що n = 2, оскільки це найбільше ціле число, квадрат якого менше або дорівнює 7. Запишіть 2 у верхньому правому квадранті. Це перша цифра відповіді. Запишіть 4 (квадрат 2) у правому нижньому квадранті. Цей номер важливий для наступного кроку.
3. Відніміть число, яке розрахували крайньої лівої цифри або числа. Як і при довгому діленні, наступним кроком є ​​віднімання квадрата з числа, яке ми щойно використали для обчислення. Запишіть це число під самим лівим числом і відніміть їх. Відповідь запишіть нижче.
   • У нашому прикладі ми записуємо 4 під 7 і віднімаємо його. Це дає 3 у відповідь.
4. Перемістіть наступне число вниз. Розмістіть це поряд із значенням, знайденим у попередньому редагуванні. Помножте число вгорі праворуч на два і запишіть його внизу праворуч. Залиште місце поруч із номером, який ви щойно записали, для суми, яку ви зробите на наступному кроці. Напишіть тут "_ × _ =" ".
   • У нашому прикладі наступне число - "80". Напишіть "80" поруч із 3 у лівому квадранті. Потім помножте число вгорі праворуч на 2. Це число дорівнює 2, тому 2 × 2 = 4. Запишіть "" 4 "" внизу праворуч, а потім _×_=.
5. Введіть цифри праворуч. У порожній простір суми (праворуч) введіть найбільше ціле число, яке зробить результат суми множення праворуч меншим або рівним поточному числу зліва.
   • У нашому прикладі ми вводимо 8, і це дає 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Це більше, ніж 380. Отже, 8 занадто велике, але 7, ймовірно, ні. Заповніть 7 і розв’яжіть: 4 (7) × 7 = 329. 7 - це добре, оскільки 329 - менше 380. Напишіть 7 у верхньому правому куті. Це друга цифра в квадратному корені з 780,14.
6. Відніміть від поточного числа ліворуч щойно обчислене число. Отже, ви віднімаєте результат множення праворуч від поточної відповіді ліворуч. Напишіть свою відповідь прямо під нею.
   • У нашому прикладі ми віднімаємо 329 з 380, і це дає 51 як результат.
7. Повторіть крок 4. Перемістіть наступну пару чисел з 780,14 вниз. Коли ви доберетеся до коми, напишіть цю кому у відповіді праворуч. Потім помножте верхнє праве число на 2 і напишіть відповідь поруч із ("_ × _"), як зазначено вище.
   • У своїй відповіді ми тепер пишемо кому, оскільки ми також стикаємось із цим у 780.14. Перемістіть наступну пару (14) вниз по лівому квадранту. 27 х 2 = 54, тому ми пишемо "54 _ × _ =" у правому нижньому квадранті.
8. Повторіть кроки 5 і 6. Знайдіть найбільше число, яке дає відповідь, меншу або рівну поточному числу зліва. Вирішити.
   • У нашому прикладі 549 × 9 = 4941, що менше або дорівнює числу зліва (5114). 549 × 10 = 5490, що є занадто високим, тому 9 - це наша відповідь. Запишіть 9 як наступне верхнє праве число і відніміть результат множення від лівого числа: 5114 -4941 = 173.
9. Щоб результат був точним, повторюйте попередню процедуру, поки не знайдете відповідь із потрібною кількістю десяткових знаків (сотих, тисячних).

Зрозумійте процедуру

1. Розглянемо число, квадратний корінь якого ви хочете обчислити, як площу S квадрата. Оскільки площа квадрата L, де L - довжина однієї з його сторін, то, знаходячи квадратний корінь вашого числа, ви намагаєтесь обчислити довжину L сторони цього квадрата.
2. Дайте кожній цифрі вашої відповіді букву. Введіть змінну A як першу цифру L (квадратний корінь, який ми намагаємось обчислити). B - друга цифра, C - третя тощо.
3. Дайте літеру кожній «парі цифр» числа, з якого ви починаєте. Дайте змінну S_a до першої пари цифр у S (початкове значення), S._b до другої пари цифр тощо.
4. Зрозумійте взаємозв’язок цього методу з тривалим поділом. Цей метод пошуку квадратного кореня, по суті, є довгим поділом, де ви ділите початкове значення на його квадратний корінь і "даєте" квадратний корінь як відповідь. Як і у випадку з довгим поділом, коли вас цікавлять лише наступні цифри за раз, вас цікавлять лише наступні дві цифри за раз (які відповідають наступній цифрі квадратного кореня).
5. Знайдіть найбільше число, квадрат якого менше або дорівнює S._a є. Тоді перша цифра A у нашій відповіді є найбільшим цілим числом, квадрат якого не більший за S._a (А такий, що A² ≤ Sa (A + 1) ²). У нашому прикладі S_a = 7, а 2² ≤ 7 3², отже A = 2.
   • Зверніть увагу, що якщо ви поділите 88962 на 7, використовуючи довге ділення, перший крок дорівнює: ви спочатку маєте справу з першою цифрою 88962 (8), і ви хочете, щоб найбільша цифра, помножена на 7, менша або дорівнює 8. По суті, ви визначити d такі, що 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). У цьому випадку d дорівнює 1.
6. Візуалізуйте квадрат, для якого ви хочете знайти площу. Вашою відповіддю, квадратним коренем початкового значення, є L, що описує довжину квадрата площею S (початкове значення). Значення для A, B і C представляють цифри у значенні L. Іншим способом сказати це є те, що для двозначної відповіді 10A + B = L, а для 3-значної відповіді 100A + 10B + C = L тощо.
   • У нашому прикладі (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Пам'ятайте, що 10A + B представляє нашу відповідь L разом з B в позиції одиниць, а A в позиції десятків. Наприклад, якщо A = 1 і B = 2, то 10A + B - це число 12. (10A + B) ² - площа всієї площі, тоді як 100A² - площа найбільшого внутрішнього квадрата, B² - площа найменшого квадрата і 10A × B - площа кожного з решти прямокутників. Завдяки цій довгій, складній процедурі ми можемо знайти площу всього квадрата, додавши площі квадратів і прямокутників, які є його частиною.
7. Відніміть A² від S._a. Принесіть пару цифр (С._b) від числа S. S._a С._b - це майже загальна площа квадрата, з якої ви щойно відняли площу найбільшого внутрішнього квадрата. Залишок - це, скажімо, число N1, яке ми отримали на кроці 4 (N1 = 380 у нашому прикладі). N1 дорівнює 2 × 10A × B + B² (площа 2 прямокутників плюс площа маленького квадрата).
8. Подивіться на N1 = 2 × 10A × B + B², також записаний як N1 = (2 × 10A + B) × B. У нашому прикладі ви вже знаєте N1 (380) та A (2), тому тепер вам потрібно знайти B. B, ймовірно, не є цілим числом, тому вам доведеться насправді знайти найбільше ціле число B, таке що (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Отже, у вас є: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Розв’яжіть рівняння. Щоб розв’язати це рівняння, помножте A на 2, змістіть його на десять (помножте на 10), поставте B в одиницях, а результат помножте на B. Іншими словами, (2 × 10A + B) × B. саме те, що ви робите, коли пишете "N_ × _ =" (з N = 2 × A) у правому нижньому квадранті на кроці 4. На кроці 5 ви визначаєте найбільше ціле число B, яке підходить нижче рядка, тому (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Відніміть площу (2 × 10A + B) × B від загальної площі. Це дає площу S- (10A + B) ², яку ви ще не врахували (і яку ви використовуєте для обчислення наступних чисел таким же чином).
11. Щоб обчислити наступну цифру С, повторіть процедуру. Перемістіть наступну пару чисел від S вниз (S_c), щоб отримати N2 ліворуч, і знайдіть найбільший C, щоб у вас тепер було: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (дорівнює подвійному двозначному числу "AB", що слідує за "_ × _ =" Тепер визначте найбільше число, яке ви можете тут ввести, і це дасть вам відповідь, меншу або рівну N2.

Поради

• Переміщення коми у два місця (коефіцієнт 100) переміщує кому у відповідному квадратному корені на одне місце (коефіцієнт 10).
• У цьому прикладі 1,73 можна вважати "залишком": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Цей метод працює для будь-якої системи числення, а не лише для десяткової (десяткової) системи.
• Не соромтеся розміщувати розрахунки там, де хочете. Деякі люди пишуть це вище числа, з якого хочуть обчислити квадратний корінь.
• Альтернативним методом є такий: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Наприклад, для обчислення квадратного кореня з 780,14 візьмемо ціле число, квадрат якого найближчий до 780,14 (28), отже = 780,14, x = 28 та y = -3,86. Заповнення та оцінка дає нам x + y / (2x), і це дає (спрощені умови) 78207/2800 або приблизно 27.931 (1); наступний термін, 4374188/156607 або приблизно 27.930986 (5). Кожен термін додає до попереднього приблизно 3 знаки після коми.

Попередження

• Обов’язково розділіть число на пари від десяткової коми. Розділивши 79520789182.47897 як "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "дає неправильний результат.