Обчисліть кубичні корені вручну

Відеоролик: Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Зміст

Крок
Частина 1 з 3: Розробка прикладу завдання
Частина 2 з 3: Пошук кореня куба шляхом повторного оцінювання
Поради
Попередження
Потреби

За допомогою калькулятора обчислення кореня куба з будь-якого числа - це не більше, ніж натискання декількох клавіш. Але, можливо, у вас немає калькулятора або ви хочете вразити своїх друзів своєю здатністю самостійно опрацьовувати корінь куба. Існує метод, який на перший погляд виглядає дещо жорстким, але працює дуже просто з невеликою кількістю практики. Корисно мати деякі готові знання в галузі арифметичних навичок та обчислення кубічних чисел.

Крок

Частина 1 з 3: Розробка прикладу завдання

Складіть задачу. Вирішення кубового кореня числа буде виглядати як розв’язання довгого ділення, з деякими відмінностями тут і там. Перший крок - це правильно записати висловлювання.
- Запишіть число, за яким потрібно визначити кубиковий корінь. Запишіть числа групами по три, причому комою буде початкова точка. У цьому прикладі ви збираєтесь визначити корінь куба з 10. Запишіть це як 10.000000. Нулі потрібні для точності відповіді.
- Намалюйте квадратний корінь куба над числом. Це служить тій самій меті, що і лінія у довгому поділі. Різниця лише у формі символу.
- Поставте кому над рядком, безпосередньо над комою в оригінальному номері.
Знати куби одиниць. Ви збираєтеся використовувати їх у своїх розрахунках. Це стосується наступних третіх сил:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Визначте першу цифру своєї відповіді. Виберіть число, яке для куба дає найбільший можливий результат, менший за перший набір із трьох чисел.
  - У цьому прикладі перша множина з трьох чисел, помножених разом, дорівнює 10. Знайдіть найбільший куб, менший за 10. Це 8, а його корінь куба 2.
  - Запишіть число 2 над квадратним коренем, над числом 10. Запишіть значення 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Зробіть налаштування для наступної цифри. Решту запишіть наступну групу з трьох чисел і проведіть коротку вертикальну лінію зліва від отриманого числа. Це буде число, яке ми використовуємо для визначення наступної цифри у розв’язанні кореня вашого куба. У цьому прикладі це стає 2000, який створюється із залишку 2 попередньої суми віднімання з групою з трьох нулів, яку ви зняли.
    - Ліворуч від вертикальної лінії запишіть рішення наступного дільника як суму трьох окремих чисел. Вкажіть порожні пробіли для цих чисел, підкресливши три порожні місця зі знаками плюс знизу.
  - Знайдіть початок наступного дільника. Для першої частини дільника напишіть у триста разів більше квадрата того, що знаходиться вище знака квадратного кореня. У цьому випадку це 2; 2 ^ 2 дорівнює 4, а 4 * 300 = 1200. Тож напишіть свій 1200 у перший пробіл. Дільник для цього кроку рішення стає 1200, плюс ще щось, що ви обчислите за мить.
  - Знайдіть наступне число у своєму корені куба. Знайдіть наступну цифру свого рішення, вибравши, що можна помножити на дільник (1200 і щось інше), а потім відніміть його від залишку 2000 року. Це може бути лише 1, оскільки 2 рази на 1200 дорівнює 2400, що більше, ніж 2000. Запишіть число 1 у наступному пробілі над знаком квадратного кореня.
  - Знайдіть залишок дільника. Дільник на цьому кроці рішення складається з трьох частин. Перша частина - це 1200 у вас вже є. Тепер вам потрібно буде додати ще два доданки, щоб заповнити дільник.
    - Тепер обчисліть 3 рази в 10 разів кожну з двох цифр у вашому розчині над знаком квадратного кореня. Для цієї простої вправи це означає 3 * 10 * 2 * 1, що дорівнює 60. Додайте це до 1200, які ви вже мали, і отримаєте 1260.
    - Нарешті, додайте квадрат останньої цифри. У цьому прикладі це 1; а 1 ^ 2 все ще 1. Отже, загальний дільник дорівнює 1200 + 60 + 1, або 1261. Запишіть це зліва від вертикальної лінії.
  - Множи і віднімай. Округліть цю частину розв’язку, помноживши останню цифру вашого розв’язку - в даному випадку на число 1 - на дільник, який ви щойно обчислили (1261). 1 * 1261 = 1261. Запишіть це нижче 2000 і відніміть 1261, щоб отримати 739.
  - Вирішіть піти далі, щоб отримати більш точну відповідь. Після завершення віднімання кожного кроку слід перевірити, чи достатньо точною є ваша відповідь. Для кубового кореня з 10 після першої мінусової суми кубовий корінь становив лише 2, що насправді не є точним. Тепер, після другого туру, рішення 2.1.
    - Ви можете перевірити точність цього результату за допомогою куба: 2,1 * 2,1 * 2,1. Результат - 9.261.
    - Якщо ви вважаєте результат достатньо точним, можете зупинитися. Якщо ви хочете отримати більш точну відповідь, вам доведеться пройти ще один раунд.
  - Визначте дільник для наступного туру. У цьому випадку, щоб отримати більше практики та отримати більш точну відповідь, повторіть кроки для іншого раунду наступним чином:
    - Зведіть наступну групу з трьох чисел. У цьому випадку це три нулі, які після залишку 739 утворюють 739 000.
    - Починайте дільник з 300 разів більшого за квадрат числа, що перебуває над знаком квадратного кореня. Це є 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Помножте дільник на результат. Обчисливши дільник у цьому наступному раунді та розширивши своє рішення ще однією цифрою, виконайте наступні дії:
      - Помножте дільник на останню цифру вашого рішення. 135 475 * 5 = 677 375.
      - Віднімаємо. 739 000-677 375 = 61 625.
      - Поміркуйте, чи достатньо точним є рішення 2.15. Обчисліть його куб, і ви отримаєте ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Запишіть свою остаточну відповідь. Результатом над квадратним коренем є корінь куба з точністю до трьох значущих цифр. У цьому прикладі кубичний корінь із 10 дорівнює 2,15. Перевірте це, розрахувавши 2,15 ^ 3 = 9,94, яке можна округлити до 10. Якщо вам потрібна більш точна відповідь, продовжуйте робити це, доки вас не задовольнять.

Частина 2 з 3: Пошук кореня куба шляхом повторного оцінювання

Використовуйте кубічні числа для встановлення верхньої та нижньої меж. Коли запитують корінь куба даного числа, почніть з вибору куба, який знаходиться якомога ближче до нього, не перевищуючи цільового числа.
- Наприклад, якщо ви хочете знайти корінь куба з 600, пам’ятайте (або використовуйте куб куба) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Оцініть наступну цифру. Ви видаляєте першу цифру, знаючи певні кубічні числа. Для наступної цифри оцініть число від 0 до 9 залежно від того, де ваше цільове число потрапляє між двома граничними числами.
  - У прикладі задачі 600 (ваше цільове число) потрапляє приблизно на половину шляху між граничними числами 512 і 729. Отже, ви вибираєте 5 як наступне число.
- Перевірте свою оцінку, визначивши куб її. Спробуйте помножити оцінку, з якою ви зараз працюєте, щоб з’ясувати, наскільки ви близькі до цільового числа.
  - У цьому прикладі ви множитеся 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614,1.}За необхідності відкоригуйте свою оцінку. Піднявши до куба останньої здогадки, порівняйте результат із вашим цільовим числом. Якщо результат перевищує запланований, ваша оцінка повинна бути меншою. Якщо результат менше цілі, вам доведеться регулювати його вгору, поки не досягнете мети.
    - Наприклад, у цій заяві 8,53{ displaystyle 8,5 ^ {3}}Оцініть наступну цифру, щоб отримати більш точну відповідь. Продовжуйте цю процедуру підрахунку чисел від 0 до 9, поки ваша відповідь не стане настільки точною, наскільки ви хочете. Перед кожним раундом оцінки ви починаєте з перевірки положення останнього розрахунку між граничними числами.
      - У цьому прикладі вправи ваш останній цикл обчислень це показує ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592,7}$ Продовжуйте оцінювати та коригувати. Робіть це стільки разів, скільки потрібно, підніміть свою здогадку до кубічної потужності і подивіться, як вона порівнюється з цільовим числом. Шукайте цифри, які є трохи нижче або трохи вище цільового числа.
        Для цього прикладу вправи ви почнете з цього ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Продовжуйте, поки не досягнете бажаної точності. Продовжуйте оцінювати, порівнювати та переоцінювати стільки часу, скільки потрібно, поки ваше рішення не стане настільки точним, наскільки ви хочете. Зверніть увагу, що з кожним десятковим числом ваші цільові числа наближаються і наближаються до фактичного числа.
        Для прикладу кореня куба з 600, якщо взяти два десяткові числа, вам на 8,43 від цільового числа відстає менше 1. Якщо продовжити до трьох знаків після коми, ви побачите це ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Перегляньте біномій Ньютона. Щоб зрозуміти, чому цей алгоритм працює для визначення коренів куба, спочатку слід подумати про те, як куб виглядає як біноміальний. Ви, мабуть, навчились цього в математиці середньої школи (і, як і більшість людей, напевно швидко забули про це). Виберіть дві змінні ${ displaystyle A}$ Запишіть двочлен у кубічній формі. Зараз ми працюємо в зворотному напрямку, спочатку визначаємо куб, а потім дивимося, чому працює кореневе рішення куба. Нам потрібні значення ${ стиль відображення (10А + В) ^ {3}}$ Знати значення тривалого поділу. Зауважте, що метод кореня куба працює так само, як довгий поділ. При довгому діленні ви бачите, що два множники, помножені разом, дають число, з якого ви почали. У цьому розрахунку число, яке ви шукаєте (число, яке з часом з’являється над квадратним коренем), є коренем куба. Це означає, що це дорівнює терміну (10A + B). Фактичні А і В зараз не мають значення, поки ви розумієте взаємозв'язок з відповіддю.
        Переглянути розширену версію. Подивившись на біномій Ньютона, ви зможете зрозуміти, чому алгоритм кореня куба правильний. Подивіться, як дільник на кожному кроці алгоритму дорівнює сумі чотирьох доданків, які потрібно обчислити та скласти. Ці умови виникають наступним чином:
        Перший доданок містить кратне 1000. Ви спочатку вибираєте число, яке можна підняти до куба, і все одно залишатиметься в діапазоні довгого ділення як перше число. Це дає термін 1000A ^ 3 у біномі.
        Другий член біномію Ньютона має коефіцієнт 300. (Це походить від ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Дивіться точність зростання. При розробці довгого поділу кожен виконаний вами крок надає великої точності вашій відповіді. Наприклад, приклад задачі, яка працювала в цій статті, стосується визначення кореня куба з 10. На першому кроці рішення - 2, оскільки ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ наближається, але менше 10. Насправді, це так ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Після другого туру ваше рішення - 2.1. Як тільки ви це опрацюєте, ви отримаєте ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9261}$ , що набагато ближче до бажаного результату (10). Після третього раунду у вас 2.15, що дає вам ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Продовжуйте працювати в групах із трьох чисел, і ви отримаєте настільки точну відповідь, скільки захочете.