Зміст

• Кроки
• Порада
• Увага

Інверсія часто використовується в обчисленні для спрощення проблемних проблем іншими способами. Наприклад, простіше множити з оберненою часткою, ніж прямо розділити її на це число. Це зворотне. Так само, оскільки для матриці немає знаків дробу, вам доведеться помножити її обернену матрицю. Обчислення інверсної матриці матриці 3x3 може бути дуже нудним, але це проблема, на яку варто звернути увагу. Для цього ви також можете використовувати вдосконалений графічний калькулятор.

Кроки

Метод 1 з 3: Створіть додаткову матрицю, щоб знайти обернену матрицю

1. 

   Перевірте визначник матриці. Перший крок: знайти детермінанту матриці. Якщо визначник дорівнює 0, це зроблено: ця матриця не є оборотною. Визначник матриці M можна позначити det (M).
   • Щоб знайти обернену до матриці 3x3, спочатку потрібно обчислити її визначник.
   • Щоб переглянути, як знайти детермінанту матриці, зверніться до статті Пошук детермінантів матриці 3x3.

2. 

   
   
   Транспонування вихідної матриці. Транспозиція означає відображення матриці по головній діагоналі, або іншими словами, обмін th елемента (i, j) та елемента (j, i). При транспонуванні елементів матриці основна діагональ (проходить від верхнього лівого кута до нижнього правого кута) залишається незмінною.
   • Інший спосіб зрозуміти транспозицію полягає в тому, що ви перепишете матрицю так, що перший рядок стане першим стовпцем, середній рядок стане середнім стовпцем, а третій рядок стане третім стовпцем. Зверніть увагу на кольорові елементи на малюнку вище та зауважте нове положення цифр.

3. 

   
   
   Знайдіть визначник кожної підматриці 2х2. Всі елементи нової матриці переміщення 3x3 пов'язані з відповідною матрицею 2x2 'sub'. Щоб знайти підматрицю кожного елемента, спочатку виділіть рядок і стовпець першого елемента. Усі 5 елементів будуть виділені. Решта чотири елементи утворюють підматрицю.
   • У наведеному вище прикладі, якщо ви хочете знайти підматрицю елемента у другому рядку, першому стовпці, ви виділите п’ять частин слова у другому рядку та першому стовпці. Решта чотири елементи є відповідною підматрицею.
   • Знайдіть визначник кожної підматриці, помножуючи по діагоналі та віднімаючи два добутки один від одного, як показано на малюнку вище.
   • Прочитайте більше, щоб дізнатись більше про підматриці та їх використання.

4. 

   
   
   Складіть матрицю алгебраїчних підрозділів. Помістіть результат, отриманий на попередньому кроці, у нову матрицю, що складається з алгебраїчних підрозділів, розмістивши кожну визначницю підматриці у відповідному положенні у вихідній матриці. Таким чином, визначник, обчислений з елемента (1,1) вихідної матриці, буде розміщений у позиції (1,1). Далі вам доведеться змінити знак заміни цієї нової матриці відповідно до довідкової таблиці, показаної на ілюстрації вище.
   • При визначенні знака зберігається відмітка першої молекули провідної. Знак другого елемента зворотний. Знак третього елемента збережений. Продовжуйте так до кінця матриці. Зверніть увагу, що знак (+) або (-) на довідковій діаграмі не означає, що до кінця елемент буде мати позитивний або негативний знак. Вони лише показують, що елементи будуть збережені цілими (+) або змінені за допомогою (-).
   • Докладніше про алгебраїчні придатки див. В основах матриць.
   • Кінцевим результатом, який ми отримуємо на цьому кроці, є комплементарна матриця вихідної матриці. Його іноді також називають спряженою матрицею і позначають Adj (M).

5. 

   Поділіть усі елементи матриці доповнення на визначник. Використовуйте визначник матриці M, який ви розрахували на першому кроці (щоб перевірити, чи є матриця оборотною). Тепер розділіть кожен елемент матриці на це значення. Покладіть частку кожного поділу в положення вихідного елемента, і ми отримаємо обернену матрицю вихідної матриці.
   • Зразок матриці, представлений на ілюстрації, має детермінант 1. Отже, ділячи кожен елемент комплементарної матриці на детермінант, ми отримуємо самого себе (вам не завжди так пощастить). .
   • Замість розподілу, деяка документація демонструє цей крок як множення кожного елемента M на 1 / det (M). Математично вони еквівалентні.
   реклама

Метод 2 з 3: Зменште лінійний рядок, щоб знайти обернену матрицю

1. 

   Додайте одиничну матрицю до вихідної матриці. Напишіть базову матрицю M, проведіть вертикальну лінію праворуч від цієї матриці, а потім напишіть одиничну матрицю праворуч від цієї лінії. На даний момент у нас є матриця з трьома рядками та шістьма стовпцями.
   • Пам'ятайте, що матриця ідентичності - це спеціальна матриця з усіма елементами на головній діагоналі, яка проходить від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, дорівнює 1, а всі елементи в інших позиціях дорівнюють нулю.

2. 

   Виконайте лінійне зменшення рядків. Метою тут є створення одиничної матриці в лівій частині нещодавно розширеної матриці. Виконуючи кроки зменшення рядків зліва, ви повинні виконати відповідну частину праворуч - частину, яка є вашою одиничною матрицею.
   • Пам’ятайте, що зменшення рядків виконується як комбінація скалярного множення та додавання чи віднімання рядків, щоб виділити окремі елементи матриці.

3. 

   Продовжуйте, поки не сформується одинична матриця. Продовжуйте лінійне скорочення, поки не з’явиться матриця ідентичності (елементи на діагоналі дорівнюють 1, інші елементи дорівнюють 0) у лівій частині розширеної матриці. Після досягнення цього кроку права частина вертикального дільника є зворотною матрицею вихідної матриці.

4. 

   Перепишіть обернену матрицю. Скопіюйте елементи, які зараз знаходяться в правій частині вертикального дільника, і це ваша зворотна матриця. реклама

Метод 3 з 3: Знайдіть зворотну матрицю за допомогою кишенькового калькулятора

1. 

   Виберіть калькулятор, який може розв’язувати матриці. Простий чотирифункціональний калькулятор не зможе знайти зворотну матрицю безпосередньо для вас. Однак через математичне повторення вдосконалений графічний калькулятор, такий як Texas Instruments TI-83 або TI-86, може значно зменшити вашу роботу.

2. 

   Введіть матрицю в калькулятор. Спочатку введіть функцію матриці вашого калькулятора, натиснувши клавішу матриці, якщо вона доступна на вашому пристрої. На машині Texas Instruments вам доведеться натиснути 2 Matrix.

3. 

   Виберіть підменю Редагувати. Щоб отримати доступ до цього підменю, можливо, вам доведеться скористатися кнопками зі стрілками або вибрати відповідні функціональні клавіші, розташовані у верхньому рядку клавіатури комп'ютера, залежно від його дизайну.

4. 

   Виберіть назву для вашої матриці. Більшість кишенькових калькуляторів обладнані для роботи з 3 - 10 матрицями, названими буквами від А до Дж. Зазвичай, давайте почнемо з. Натисніть клавішу Enter, щоб підтвердити вибір імені.

5. 

   Введіть розмір матриці. Ця стаття зосереджена на матрицях 3x3. Однак кишенькові калькулятори можуть обробляти великі матриці. Введіть кількість рядків, натисніть Enter, потім введіть номер стовпця і натисніть Enter.

6. 

   Введіть кожен елемент матриці. На екрані комп'ютера відображатиметься матриця. Якщо ви працювали з функцією матриці раніше, на екрані з’явиться матриця, з якою ви працювали раніше. Курсор позначить перший елемент матриці. Введіть значення матриці, яке потрібно вирішити, і натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елементу, замінивши всі попередні значення.
   • Якщо ви хочете ввести від’ємні числа, використовуйте негативну (-) кнопку калькулятора, а не клавішу мінус. Функція матриці читатиметься неправильно.
   • Якщо потрібно, ви можете використовувати клавіші зі стрілками на калькуляторі для переміщення по матриці.

7. 

   Вийдіть з функції матриці. Після того, як ви ввели ціле значення матриці, натисніть клавішу Quit - Exit (або 2 Quit, якщо потрібно). Завдяки цьому ви виходите з функції Matrix і повертаєтесь на головний екран калькулятора.

8. 

   Використовуйте зворотну клавішу, щоб знайти зворотну матрицю. Спочатку знову відкрийте функцію Matrix та за допомогою кнопки Імена виберіть ім’я матриці, яке ви використовували для вашої матриці (це може бути). Потім натисніть клавішу обернення калькулятора ,. Залежно від вашого пристрою, можливо, вам доведеться використовувати кнопку 2. З'явиться екран дисплея. Натисніть Enter, і на вашому екрані з’явиться зворотна матриця.
   • Не використовуйте кнопку ^ на своєму комп’ютері, намагаючись ввести A ^ -1 за допомогою окремих клацань. Комп’ютери не зрозуміють цієї математики.
   • Якщо під час натискання клавіші зворотного зв’язку з’являється повідомлення про помилку, швидше за все, ваша батьківська матриця не є оборотною. Можливо, вам слід повернутися назад і бути якісними, щоб визначити, чи не причина цього помилки.

9. 

   Перетворіть обернену матрицю у правильну відповідь. Перший результат, що повертається комп'ютером, відображається в десяткових цифрах. Це не обов'язково "правильна" відповідь для більшості цілей. Ви повинні перетворити цю десяткову відповідь на дріб, якщо це необхідно (якщо пощастить, усі ваші результати є цілими числами. Однак це дуже рідко).
   • Можливо, у вашому калькуляторі є функція, яка автоматично перетворює десяткові дроби у дроби. Наприклад, під час використання TI-86 ви можете перейти до функції математики, вибрати Різне, а потім Frac і натиснути Enter. Десяткові знаки будуть автоматично представлені у вигляді дробів.
10. Більшість графічних калькуляторів мають квадратні дужки (для TI-84, тобто 2-й + х та 2-й + -), які дозволяють вводити матрицю без використання функції матриці. Примітка: Калькулятор може не форматувати матрицю, поки не буде використана клавіша enter / enako (це означає, що все буде в одному рядку і не дуже красиво). реклама

Порада

• Ви можете виконати ці кроки, щоб знайти зворотну матрицю, яка містить не тільки числа, але й змінні, невідомі або навіть алгебраїчні вирази.
• Запишіть усі кроки, тому що знайти обернену до матриці 3x3 просто за допомогою математики надзвичайно складно.
• Існують програми-калькулятори, які допомагають знаходити зворотні матриці, до матриць 30x30 включно.
• Незалежно від використовуваного методу, перевірте точність результату, помноживши M на M. Ви підтвердите, що M * M = M * M = I. Де, I - одинична матриця , складається з елементів 1, розташованих уздовж головної діагоналі, та нулів в інших місцях. Якщо ви не отримаєте таких результатів, ви, мабуть, десь помилилися.

Увага

• Не всі матриці 3x3 мають зворотні матриці. Якщо визначник дорівнює 0, ця матриця не є оборотною (зауважте, що у формулі ми ділимо на det (M). Ділення на нуль - це невизначена математична операція).