Зміст

• Крок
• Метод 1 з 2: Метод перший: перехресне множення
• Метод 2 з 2: Метод другий: Пошук найменшого спільного кратного (LCM) знаменників
• Поради

Раціональна функція - це дріб з однією або кількома змінними в чисельнику чи знаменнику. Раціональне рівняння - це будь-яке рівняння, яке містить принаймні один раціональний вираз. Як і загальні алгебраїчні рівняння, раціональні вирази можна розв’язувати, застосовуючи одну і ту ж операцію до обох сторін рівняння, поки змінна не буде ізольована в одну сторону від знака рівності. Два спеціальні методи, перехресне множення та пошук найменшого загального кратного знаменників, особливо корисні для виділення змінних та розв’язання раціональних рівнянь.

Крок

Метод 1 з 2: Метод перший: перехресне множення

1. За необхідності переставте рівняння, щоб переконатися, що є дріб по обидві сторони знака рівності. Перехресне множення - це швидкий метод розв’язування раціональних рівнянь. На жаль, цей метод працює лише для раціональних рівнянь, які мають рівно один раціональний вираз або дріб по обидві сторони від знака рівності. Якщо це не так для вашого рівняння, то вам, ймовірно, потрібні деякі алгебраїчні операції, щоб отримати умови в потрібному місці.
   • Наприклад, рівняння (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 можна легко перетворити у правильну форму перехресного множення, додавши x / (- 2) до будь-якої сторони рівняння, роблячи його результатом виглядає так: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Пам’ятайте, що десяткові і цілі числа можна перетворити на дроби, давши їм знаменник 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, наприклад, можна переписати як (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, що дозволяє застосовувати перехресне множення.
   • Деякі раціональні рівняння неможливо перетворити у правильну форму так легко. У цих випадках використовуйте методи, де використовується найменший загальний кратний знаменників.
2. Хрестове множення. Перехресне множення означає просто множення чисельника одного дробу на знаменник іншого і навпаки. Помножте чисельник дробу зліва від знака рівності на дріб праворуч. Повторіть із чисельником праворуч і знаменником дробу ліворуч.
   • Перемножувальне множення працює згідно загальних алгебраїчних принципів. Раціональні вирази та інші дроби можна перетворити в регулярні числа, помноживши знаменники. В основному перехресне множення - це зручний скорочений спосіб множення обох сторін рівняння на обидва знаменники дробів. Ви не вірите? Спробуйте - ви побачите однакові результати після спрощення.
3. Зробіть два вироби рівними між собою. Після перехресного множення у вас залишаються два добутки. Зробіть ці два доданки рівними та спростіть їх, щоб отримати найпростіші доданки по обидві сторони рівняння.
   • Наприклад, якщо (x + 3) / 4 = x / (- 2) було вашим початковим раціональним виразом, то після перехресного множення воно стає рівним -2 (x + 3) = 4x. За бажанням це можна переписати як -2x - 6 = 4x.
4. Вирішити для змінної. Використовуйте алгебраїчні операції, щоб знайти значення змінної в рівнянні. Пам’ятайте, якщо x з’являється з обох сторін знака рівності, то додаючи або віднімаючи член x, переконайтесь, що на одній стороні знака рівності є лише x членів.
   • У нашому прикладі можна розділити обидві сторони рівняння на -2, що дає нам х + 3 = -2х. Віднімання x з обох сторін знака рівності дає нам 3 = -3x. І нарешті, розділивши обидві сторони на -3, отримаємо -1 = x, або також x = -1. Тепер ми знайшли х, що вирішує наше раціональне рівняння.

Метод 2 з 2: Метод другий: Пошук найменшого спільного кратного (LCM) знаменників

1. Зрозумійте, коли пошук найменшого спільного кратного знаменників очевидний. Найменше спільне кратне (LCM) знаменників може бути використано для спрощення раціональних рівнянь, що дає можливість знаходити значення їх змінних. Пошук LCM - це гарна ідея, якщо раціональне рівняння неможливо легко переписати у форму, де на кожній стороні знака рівності є лише одна дріб або раціональний вираз. Для розв’язування раціональних рівнянь із трьома членами або більше, LCM є корисним інструментом. Але для розв’язання раціональних рівнянь лише з двома доданками перехресне множення часто буває швидшим.
2. Вивчіть знаменник кожного дробу. Знайдіть найменше число, яке повністю ділиться на будь-який знаменник. Це LCM вашого рівняння.
   • Іноді найменш загальне кратне - найменше число, яке повністю ділиться на кожен із знаменників - відразу виявляється. Наприклад, якщо ваш вираз виглядає як x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, то легко зрозуміти, що LCM повинен ділитися на 3, 2 і 6 і, отже, дорівнювати 6.
   • Але частіше LCM раціонального порівняння взагалі не одразу зрозумілий. У цих випадках спробуйте кратні найбільшого знаменника, поки не знайдете число, яке включає кратні інші, менші знаменники. Часто LCM є продуктом двох знаменників. Наприклад, візьмемо рівняння x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, де LCM дорівнює 8 * 9 = 72.
   • Якщо один або кілька знаменників містять змінну, цей процес буде дещо складнішим, але це аж ніяк неможливо. У цих випадках LCM - це вираз (зі змінними), який повністю відповідає всім знаменникам, а не лише одному числу. Як приклад, рівняння 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), де LCM дорівнює 3x (x-1), оскільки воно повністю ділиться на будь-який знаменник - ділення на (x- 1 ) дає 3x, ділення на 3x дає (x-1), а ділення на x дає 3 (x-1).
3. Помножте кожну частку в раціональному рівнянні на 1. Помноження кожного доданка на 1 може здатися марним, але тут є хитрість. А саме 1 можна записати дробом - наприклад, 2/2 та 3/3. Помножте кожен дріб у вашому раціональному рівнянні на 1, записуючи щоразу 1 як число або доданок, помножене на кожен знаменник, щоб отримати LCM у вигляді дробу.
   • У нашому прикладі ми можемо помножити x / 3 на 2/2, щоб отримати 2x / 6, і помножити 1/2 на 3/3, щоб отримати 3/6. 3x +1/6 вже має знаменник 6 (lcm), тому ми можемо помножити його на 1/1 або просто залишити.
   • У нашому прикладі зі змінними в знаменниках весь процес дещо складніший. Оскільки LCM дорівнює 3x (x-1), ми помножуємо кожен раціональний вираз на частку, що дає 3x (x-1) як знаменник. Множимо 5 / (x-1) на (3x) / (3x) і це дає 5 (3x) / (3x) (x-1), множимо 1 / x на 3 (x-1) / 3 (x -1) і це дає 3 (x-1) / 3x (x-1), і ми множимо 2 / (3x) на (x-1) / (x-1), і це, нарешті, дає 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Спростіть і вирішіть х. Тепер, коли кожен доданок у вашому раціональному рівнянні має однаковий знаменник, можна виключити знаменники з рівняння та вирішити чисельники. Просто помножте обидві сторони рівняння на LCM, щоб позбутися знаменників, щоб у вас залишилися лише чисельники. Тепер це стало регулярним рівнянням, яке можна розв’язати для змінної, виділивши її з одного боку від знака рівності.
   • У нашому прикладі після множення, використовуючи 1 як дріб, ми отримуємо 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Два частки можна додати, якщо вони мають однаковий знаменник, тому ми можемо записати це рівняння як (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, не змінюючи його значення. Помножте обидві сторони на 6, щоб скасувати знаменники, залишивши 2x + 3 = 3x + 1. Тут відніміть 1 з обох сторін, щоб залишити 2x + 2 = 3x, і відніміть 2x з обох сторін, щоб залишити 2 = x, що потім також можна записати як x = 2.
   • У нашому прикладі зі змінними в знаменниках рівняння після множення кожного доданка на "1" дорівнює 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Помноживши кожен доданок на LCM, можна скасувати знаменники, що тепер дає нам 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Докладніше, це стає 15x = 3x - 3 + 2x -2, що може бути спрощене знову, як 15x = x - 5. Віднімаючи x з обох сторін, отримуємо 14x = -5, так що остаточну відповідь можна спростити до x = - 5/14.

Поради

• Знайшовши значення змінної, перевірте свою відповідь, ввівши це значення у вихідне рівняння. Якщо ви отримаєте значення змінної правильно, ви зможете спростити рівняння до простої, правильної теореми, наприклад 1 = 1.
• Кожне рівняння можна записати як раціональний вираз; просто поставте його як чисельник над знаменником 1. Отже, рівняння x + 3 можна записати як (x + 3) / 1, обидва мають однакове значення.