Зміст

• Крок
• Частина 1 з 4: Складання матриці
• Частина 2 з 4: Вивчення операцій для розв’язування системи з матрицею
• Частина 3 з 4: Об’єднайте кроки для вирішення галактики
• Частина 4 з 4: Перевірка вашого рішення
• Поради

Матриця - це дуже корисний спосіб представлення чисел у блочному форматі, який потім можна використовувати для вирішення системи лінійних рівнянь. Якщо у вас лише дві змінні, швидше за все, ви будете використовувати інший метод. Прочитайте про це в Розв’язуванні системи рівнянь для прикладів цих інших методів. Але якщо у вас є три або більше змінних, масив ідеально підходить. Використовуючи багаторазові комбінації множення та додавання, ви можете систематично знаходити рішення.

Крок

Частина 1 з 4: Складання матриці

1. Переконайтеся, що у вас достатньо даних. Щоб отримати унікальне рішення для кожної змінної в лінійній системі за допомогою матриці, потрібно мати стільки рівнянь, скільки кількість змінних, які ви намагаєтеся вирішити. Наприклад: зі змінними x, y та z потрібні три рівняння. Якщо у вас є чотири змінні, вам потрібні чотири рівняння.
   • Якщо у вас менше рівнянь, ніж кількість змінних, ви виявите деякі межі змінних (наприклад, x = 3y та y = 2z), але ви не можете отримати точного рішення. У цій статті ми працюватимемо лише над унікальним рішенням.
2. Напишіть свої рівняння у стандартній формі. Перш ніж ви зможете розмістити дані рівнянь у матричній формі, спочатку запишіть кожне рівняння у стандартній формі. Стандартною формою для лінійного рівняння є Ax + By + Cz = D, де великими літерами є коефіцієнти (цифри), а останнє число (D у цьому прикладі) знаходиться праворуч від знака рівності.
   • Якщо у вас більше змінних, просто продовжуйте рядок стільки часу, скільки вам потрібно. Наприклад, якщо ви намагалися вирішити систему із шістьма змінними, ваша форма за замовчуванням мала б вигляд Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. У цій статті ми зупинимось на системах із трьома змінними. Розв’язання більшої галактики точно таке ж, але просто потрібно більше часу та більше кроків.
   • Зверніть увагу, що в стандартній формі операції між термінами завжди є доповненням. Якщо у вашому рівнянні є віднімання, замість додавання, вам доведеться працювати з цим пізніше, зробивши свій коефіцієнт від’ємним. Щоб полегшити це запам’ятовування, ви можете переписати рівняння та додати операцію та зробити коефіцієнт від’ємним. Наприклад, ви можете переписати рівняння 3x-2y + 4z = 1 як 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Помістіть числа з системи рівнянь у матрицю. Матриця - це група чисел, розташованих у своєрідній таблиці, за допомогою якої ми будемо працювати над розв’язанням системи. В основному він містить ті самі дані, що й самі рівняння, але в більш простому форматі. Щоб зробити матрицю рівнянь у стандартній формі, просто скопіюйте коефіцієнти та результат кожного рівняння в один рядок і складіть ці рядки один на одного.
   • Припустимо, у вас є система, що складається з трьох рівнянь 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 та x + y + z = 7. Верхній рядок вашої матриці міститиме числа 3, 1, -1, 9, оскільки це коефіцієнти та рішення першого рівняння. Зверніть увагу, що будь-яка змінна, яка не має коефіцієнта, вважається коефіцієнтом 1. Другий рядок матриці стає 2, -2, 1, -3, а третій рядок стає 1, 1, 1, 7.
   • Обов’язково вирівняйте коефіцієнти x у першому стовпці, коефіцієнти y у другому, коефіцієнти z у третьому та члени рішення у четвертому. Коли ви закінчите роботу з матрицею, ці стовпці будуть важливі при написанні вашого рішення.
4. Намалюйте велику квадратну дужку навколо всієї вашої матриці. За домовленістю, матриця позначається парою квадратних дужок, [], навколо всього блоку чисел. Дужки жодним чином не впливають на рішення, але вони вказують на те, що ви працюєте з матрицями. Матриця може складатися з будь-якої кількості рядків і стовпців. У цій статті ми будемо використовувати дужки навколо термінів підряд, щоб вказати, що вони належать разом.
5. Використання загальної символіки. Під час роботи з матрицями прийнято посилатися на рядки із абревіатурою R та стовпці із абревіатурою C. Ви можете використовувати цифри разом із цими літерами для позначення конкретного рядка чи стовпця. Наприклад, щоб вказати рядок 1 матриці, ви можете написати R1. Тоді рядок 2 стає R2.
   • Ви можете вказати будь-яке конкретне положення в матриці, використовуючи комбінацію R і C. Наприклад, щоб вказати термін у другому рядку, третьому стовпці, ви можете назвати його R2C3.

Частина 2 з 4: Вивчення операцій для розв’язування системи з матрицею

1. Зрозумійте форму матриці розчину. Перш ніж розпочати вирішення вашої системи рівнянь, вам слід зрозуміти, що ви збираєтеся робити з матрицею. На даний момент у вас є матриця, яка виглядає так:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Ви працюєте з низкою основних операцій, щоб створити "матрицю рішення". Матриця рішення буде виглядати так:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 р
   • 0 0 1 z
   • Зверніть увагу, що матриця складається з одиниць у діагональній лінії з 0 у всіх інших пробілах, крім четвертого стовпця. Числа в четвертому стовпці є рішенням змінних x, y та z.
2. Використовуйте скалярне множення. Першим у вашому розпорядженні інструментом вирішення системи за допомогою матриці є скалярне множення. Це просто термін, який означає, що ви помножуєте елементи в рядку матриці на постійне число (а не змінну). Використовуючи скалярне множення, майте на увазі, що ви повинні помножити кожен доданок у цілому рядку на будь-яке число, яке ви вибрали. Якщо ви забудете перший термін і просто помножите, ви отримаєте неправильне рішення. Однак не потрібно одночасно множити всю матрицю. У скалярному множенні ви одночасно працюєте лише над одним рядком.
   • Загальноприйнято використовувати дроби при скалярному множенні, оскільки часто потрібно отримати діагональний рядок 1. Привчайте працювати з дробами. Також буде простіше (для більшості етапів розв’язання матриці) мати можливість записати свої дроби у неправильній формі, а потім перетворити їх назад у змішані числа для остаточного рішення. Тому з числом 1 2/3 легше працювати, якщо написати його як 5/3.
   • Наприклад, перший рядок (R1) нашої прикладної задачі починається з доданків [3,1, -1,9]. Матриця рішення повинна містити одиницю 1 у першій позиції першого рядка. Щоб "змінити" 3 на 1, ми можемо помножити весь рядок на 1/3. Це створює новий R1 з [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Обов’язково залиште будь-які негативні ознаки там, де вони належать.
3. Використовуйте додавання рядків або віднімання рядків. Другий інструмент, яким ви можете скористатися, - це додавання або віднімання двох рядків матриці. Щоб створити 0 членів у вашій матриці рішення, вам потрібно додати або відняти числа, щоб дістатися до 0. Наприклад, якщо R1 матриці [1,4,3,2], а R2 [1,3,5,8], то ви можете відняти перший рядок від другого рядка і створити новий рядок [0, -1, 2.6], оскільки 1-1 = 0 (перша колонка), 3-4 = -1 (друга колонка), 5-3 = 2 (третя колонка) та 8-2 = 6 (четверта колонка). Виконуючи додавання рядків або віднімання рядків, перепишіть новий результат замість того рядка, з якого ви почали. У цьому випадку ми витягуємо рядок 2 і вставляємо новий рядок [0, -1,2,6].
   • Ви можете використовувати скорочений запис і оголосити цю дію як R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Пам’ятайте, що додавання і віднімання - це просто протилежні форми однієї і тієї ж операції. Подумайте про це, як додавання двох чисел або віднімання протилежного. Наприклад, якщо ви починаєте з простого рівняння 3-3 = 0, ви можете сприймати це як проблему додавання 3 + (- 3) = 0. Результат той самий. Це здається простим, але іноді легше розглянути проблему в тій чи іншій формі. Просто слідкуйте за своїми негативними ознаками.
4. Поєднуйте додавання рядків і скалярне множення за один крок. Ви не можете очікувати, що умови завжди збігаються, тому ви можете використовувати просте додавання або віднімання, щоб створити 0 у вашій матриці. Частіше вам доведеться додавати (або віднімати) кратний з іншого рядка. Для цього спочатку виконується скалярне множення, а потім додається результат до цільового рядка, який ви намагаєтеся змінити.
   • Припустимо; що є рядок 1 [1,1,2,6] та рядок 2 [2,3,1,1]. Вам потрібен термін 0 у першому стовпці R2. Тобто потрібно змінити 2 на 0. Для цього потрібно відняти 2. Ви можете отримати 2, спочатку помноживши рядок 1 на скалярне множення 2, а потім віднявши перший рядок з другого рядка. У короткій формі це можна записати як R2-2 * R1. Спочатку помножте R1 на 2, щоб отримати [2,2,4,12]. Потім відніміть це від R2, щоб отримати [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Спростіть це, і ваш новий R2 буде [0,1, -3, -11].
5. Скопіюйте рядки, які залишаються незмінними під час роботи. Під час роботи над матрицею ви змінюватимете один рядок за раз, або шляхом скалярного множення, додавання рядків, або віднімання рядків, або комбінацією кроків. Змінюючи один рядок, обов’язково скопіюйте інші рядки вашої матриці у їх початковому вигляді.
   • Поширена помилка виникає під час виконання комбінованого кроку множення та додавання в один хід. Наприклад, скажімо, вам потрібно відняти R1 від R2 двічі. Коли ви множите R1 на 2, щоб зробити цей крок, пам’ятайте, що R1 не змінюється в матриці. Ви виконуєте множення лише для зміни R2. Спочатку скопіюйте R1 у вихідному вигляді, а потім внесіть зміни на R2.
6. Спочатку працюйте зверху вниз. Для вирішення системи ви працюєте в дуже організованому режимі, по суті «вирішуючи» один член матриці за раз. Послідовність для масиву з трьома змінними виглядатиме так:
   • 1. Зробіть 1 у першому рядку, першому стовпці (R1C1).
   • 2. Зробіть 0 у другому рядку, першому стовпці (R2C1).
   • 3. Зробіть 1 у другому рядку, другому стовпці (R2C2).
   • 4. Зробіть 0 у третьому рядку, перший стовпець (R3C1).
   • 5. Зробіть 0 у третьому рядку, другому стовпці (R3C2).
   • 6. Зробіть 1 у третьому ряду, третьому стовпці (R3C3).
7. Працюйте назад знизу вгору. На цьому етапі, якщо ви правильно зробили кроки, ви пройшли половину шляху вирішення. У вас повинна бути діагональна лінія 1, а 0 під нею. Числа в четвертому стовпці на даний момент не мають значення. Тепер ви працюєте назад до початку наступним чином:
   • Створіть 0 у другому рядку, третьому стовпці (R2C3).
   • Створіть 0 у першому рядку, третьому стовпці (R1C3).
   • Створіть 0 у першому рядку, другому стовпці (R1C2).
8. Перевірте, чи ви створили матрицю рішення. Якщо ваша робота правильна, ви створили матрицю рішення з одиницями в діагональній лінії R1C1, R2C2, R3C3 та 0 в інших положеннях перших трьох стовпців. Числа в четвертому стовпці - це рішення для вашої лінійної системи.

Частина 3 з 4: Об’єднайте кроки для вирішення галактики

1. Почніть з прикладу системи лінійних рівнянь. Щоб практикувати ці кроки, давайте почнемо із системи, яку ми використовували раніше: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 та x + y + z = 7. Якщо ви пишете це в матриці, ви отримаєте R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] і R3 = [1,1,1,7].
2. Створіть 1 у першій позиції R1C1. Зверніть увагу, що в цей момент R1 починається з 3. Ви повинні змінити його на 1. Ви можете зробити це шляхом скалярного множення, помноживши всі чотири члени R1 на 1/3. Скорочено ви можете писати як R1 * 1/3. Це дає новий результат для R1, якщо R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Копіюйте R2 та R2, без змін, коли R2 = [2, -2,1, -3] та R3 = [1,1,1,7].
   • Зверніть увагу, що множення і ділення є лише оберненими функціями один одного. Можна сказати, що множимо на 1/3 або ділимо на 3, не змінюючи результату.
3. Створіть 0 у другому рядку, першому стовпці (R2C1). На даний момент R2 = [2, -2,1, -3]. Щоб наблизитись до матриці рішення, потрібно змінити перший доданок з 2 на 0. Це можна зробити, віднявши подвійне значення R1, оскільки R1 починається з 1. Скорочено, операція R2-2 * R1. Пам’ятайте, ви не змінюєте R1, просто працюйте з ним. Тож спочатку копіюємо R1, якщо R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Тоді, якщо подвоїти кожен член R1, ви отримаєте 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Нарешті, відніміть цей результат від початкового R2, щоб отримати новий R2. Робочий термін за терміном, це віднімання стає (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Ми спрощуємо їх до нового R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Зверніть увагу, що перший доданок дорівнює 0 (незалежно від вашої мети).
   • Запишіть рядок 3 (який не змінився) як R3 = [1,1,1,7].
   • Будьте обережні, віднімаючи від’ємні числа, щоб переконатися, що ознаки залишаються правильними.
   • Тепер давайте спочатку залишимо дроби у неправильному вигляді. Це полегшує подальші кроки рішення. Ви можете спростити дроби на останньому кроці задачі.
4. Створіть 1 у другому рядку, другому стовпці (R2C2). Щоб продовжувати формувати діагональну лінію одиниць, потрібно перетворити другий доданок -8/3 в 1. Зробіть це, помноживши весь рядок на зворотну величину цього числа (-3/8). Символічно, що цей крок - R2 * (- 3/8). Отриманий другий рядок - R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Зверніть увагу, що якщо ліва половина рядка починає нагадувати рішення з 0 і 1, права половина може почати виглядати потворно, з неправильними дробами. Просто залиште їх такими, якими вони є зараз.
   • Не забудьте продовжувати копіювання недоторканих рядків, тому R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] та R3 = [1,1,1,7].
5. Створіть 0 у третьому рядку, перший стовпець (R3C1). Тепер ваш фокус переходить до третього рядка, R3 = [1,1,1,7]. Щоб зробити 0 у першій позиції, потрібно відняти 1 з 1, що знаходиться в даний момент у цій позиції. Якщо підняти погляд, на першій позиції R1 буде 1. Тож вам просто потрібно відняти R1 від R3, щоб отримати потрібний результат. Робочий термін на строк, це стає (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Потім ці чотири міні-задачі можна спростити до нового R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Продовжуйте копіювати вздовж R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] і R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Пам'ятайте, що ви міняєте лише один рядок за раз.
6. Зробіть 0 у третьому рядку, другому стовпці (R3C2). На даний момент це значення 2/3, але його потрібно перетворити на 0. На перший погляд, схоже, ви можете відняти значення R1 удвічі, оскільки відповідний стовпець R1 містить 1/3. Однак, якщо ви подвоїте і віднімете всі значення R1, 0 у першому стовпці R3 зміниться, що вам не потрібно. Це був би крок назад у вашому рішенні. Тож доведеться працювати з деякою комбінацією R2. Віднімання 2/3 від R2 створює 0 у другому стовпці, не змінюючи першого стовпця. У короткій формі це R3-2 / 3 * R2. Окремі терміни стають (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Тоді спрощення дає R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Створіть 1 у третьому рядку, третьому стовпці (R3C3). Це просте множення на зворотне число, яке воно говорить. Поточне значення - 42/24, тому ви можете помножити на 24/42, щоб отримати потрібне значення 1. Зверніть увагу, що перші два доданки дорівнюють 0, тому будь-яке множення залишається 0. Нове значення R3 = [0,0,1,1].
   • Зауважте, що ті частки, які здавалися досить складними на попередньому кроці, вже починають розсмоктуватися.
   • Продовжуйте з R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] і R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Зверніть увагу, що в цей момент у вас є діагональ 1 для вашої матриці рішення. Вам потрібно лише перетворити три елементи матриці в 0, щоб знайти своє рішення.
8. Створіть 0 у другому рядку, третьому стовпці. R2 наразі [0,1, -5 / 8,27 / 8], зі значенням -5/8 у третій колонці. Ви повинні перетворити його на 0. Це означає, що вам доведеться виконати якусь операцію з R3, яка складається з додавання 5/8. Оскільки відповідний третій стовпець R3 дорівнює 1, потрібно помножити всі значення R3 на 5/8 і додати результат до R2. Коротше це R2 + 5/8 * R3. Термін для терміну це R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Це можна спростити до R2 = [0,1,0,4].
   • Потім скопіюйте R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] і R3 = [0,0,1,1].
9. Створіть 0 у першому рядку, третьому стовпці (R1C3). На даний момент перший рядок - R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Вам потрібно перетворити -1/3 у третьому стовпці в 0, використовуючи деяку комбінацію R3. Ви не хочете використовувати R2, оскільки 1 у другому стовпці R2 змінить R1 неправильно. Отже, ви множите R3 * 1/3 і додаєте результат до R1. Позначення цього - R1 + 1/3 * R3. Термін розробки терміну призводить до R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Ви можете спростити це до нового R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Скопіюйте незмінені R2 = [0,1,0,4] та R3 = [0,0,1,1].
10. Зробіть 0 у першому рядку, другому стовпці (R1C2). Якщо все зроблено правильно, це повинен бути останнім кроком. Вам потрібно перетворити 1/3 у другому стовпці на 0. Ви можете отримати це множенням і відніманням R2 * 1/3. Коротко, це R1-1 / 3 * R2. Результат - R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Тоді спрощення дає R1 = [1,0,0,2].
11. Пошук матриці рішення. На цьому етапі, якби все пройшло добре, ви мали б три рядки R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] і R3 = [0,0,1,1] повинен мати. Зверніть увагу, що якщо ви пишете це у формі матриці блоку з рядками один над іншим, у вас є діагональ 1 з 0 далі, а ваші рішення знаходяться в четвертому стовпці. Матриця рішення повинна виглядати так:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Розуміння вашого рішення. Після перетворення лінійних рівнянь у матрицю ви ставите x коефіцієнти у перший стовпець, y коефіцієнти у другий стовпець, z коефіцієнти у третій стовпець. Якщо ви хочете знову переписати матрицю до рівнянь, ці три рядки матриці насправді означають три рівняння 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 та 0x + 0y + 1z = 1. Оскільки ми можемо викреслити 0 доданків і не потрібно писати коефіцієнти 1, ці три рівняння спрощуються до рішення, x = 2, y = 4 і z = 1. Це рішення вашої системи лінійних рівнянь.

Частина 4 з 4: Перевірка вашого рішення

1. Включіть рішення у кожну змінну в кожне рівняння. Завжди гарною ідеєю є перевірити, чи дійсно ваше рішення справді правильне. Ви робите це, перевіряючи свої результати в оригінальних рівняннях.
   • Вихідними рівняннями для цієї задачі були: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 та x + y + z = 7. Коли ви замінюєте змінні на знайдені вами значення, ви отримуєте 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 та 2 + 4 + 1 = 7.
2. Спростіть будь-яке порівняння. Виконуйте операції в кожному рівнянні згідно з основними правилами операцій. Перше рівняння спрощується до 6 + 4-1 = 9, або 9 = 9. Друге рівняння можна спростити до 4-8 + 1 = -3, або -3 = -3. Останнє рівняння просто 7 = 7.
   • Оскільки будь-яке рівняння спрощується до справжнього математичного твердження, ваші рішення правильні. Якщо якесь із рішень неправильне, перевірте свою роботу ще раз і знайдіть помилки. Деякі типові помилки трапляються при позбавленні від знаків мінуса на шляху або заплутаному множенні та додаванні дробів.
3. Випишіть свої остаточні рішення. Для даної задачі остаточним рішенням є x = 2, y = 4 та z = 1.

Поради

• Якщо ваша система рівнянь дуже складна, з великою кількістю змінних, ви можете скористатися графічним калькулятором замість того, щоб виконувати роботу вручну. Щоб отримати інформацію про це, ви також можете проконсультуватися з wikiHow.