Зміст

• Крок
• Метод 1 з 3: Використання методу заміщення
• Метод 2 з 3: Використання методу елімінації
• Метод 3 із 3: Складіть графік рівнянь
• Поради
• Попередження

У "системі рівнянь" вам пропонується вирішити два або більше рівнянь одночасно. Коли ці дві містять різні змінні, такі як x і y, або a і b, на перший погляд може бути важко зрозуміти, як їх вирішити. На щастя, коли ви знаєте, що робити, для вирішення проблеми вам потрібні лише деякі базові математичні навички (а іноді і деякі знання). Якщо потрібно, або якщо ви студент-наочник, навчіться також складати графіки рівнянь. Складання графіків (побудова графіків) графіка може бути корисним для того, щоб "побачити, що відбувається", або для перевірки вашої роботи, але це також може бути повільніше, ніж інші методи, і це не працює з усіма системами рівнянь.

Крок

Метод 1 з 3: Використання методу заміщення

1. Перемістіть змінні в різні сторони рівняння. Цей метод "підстановки" починається з "розв'язування x" (або будь-якої іншої змінної) в одному з рівнянь. Наприклад, ми маємо такі рівняння: 4x + 2y = 8 і 5x + 3x = 9. Перш за все, ми розглянемо перше порівняння. Переставте, віднявши по 2y з кожного боку, і отримаєте: 4x = 8-2y.
   • Цей метод часто використовує дроби на пізніх стадіях. Ви також можете скористатися наведеним нижче способом елімінації, якщо не хочете працювати з дробами.
2. Розділіть обидві сторони рівняння, щоб розв’язати для «х». Коли на одній стороні рівняння є термін x (або будь-яка змінна, яку ви використовуєте), розділіть обидві сторони рівняння, щоб виділити змінну. Наприклад:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Підключіть це назад до іншого рівняння. Не забудьте повернутися до Інші порівняння, а не того, яким ви вже користувались. У цьому рівнянні ви замінюєте розв’язану змінну, залишаючи лише одну змінну. Наприклад:
   • Ви тепер знаєте, що: x = 2 - ½y.
   • Друге рівняння, яке ви ще не змінили, це: 5x + 3x = 9.
   • У другому рівнянні замініть x на "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Вирішити для залишкової змінної. Тепер у вас є рівняння лише з однією змінною. Використовуйте загальноприйняті методи алгебри для вирішення цієї змінної. Якщо змінні скасовують одна одну, перейдіть до останнього кроку. В іншому випадку ви отримаєте відповідь на одну зі своїх змінних:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Якщо ви не розумієте цього кроку, навчіться додавати дроби. Це часто, але не завжди, потрібно за допомогою цього методу).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Використовуйте відповідь, щоб вирішити для іншої змінної. Не помиліться, закінчивши проблему наполовину. Вам доведеться повторно ввести отриману відповідь в одне з вихідних рівнянь, щоб ви могли вирішити для іншої змінної:
   • Ви тепер знаєте, що: y = -2
   • Одне з вихідних рівнянь: 4x + 2y = 8. (Для цього кроку можна використовувати обидва рівняння).
   • Підключіть -2 замість y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4х - 4 = 8
   • 4х = 12
   • х = 3
6. Знайте, що робити, якщо обидві змінні виключають одна одну. Коли ти x = 3y + 2 або отримати подібну відповідь в іншому рівнянні, ви намагаєтесь отримати рівняння лише з однією змінною. Іноді замість цього ви отримуєте рівняння без змінні. Перевірте свою роботу ще раз і переконайтесь, що замінено (переставлене) перше рівняння на друге рівняння, а не на перше. Якщо ви впевнені, що не допустили помилок, ви отримаєте один із таких результатів:
   • Якщо ви отримаєте рівняння без змінних, яке не відповідає дійсності (наприклад, 3 = 5), тоді у вас проблема немає рішення. (Якщо ви намалювали рівняння, ви побачите, що вони паралельні і ніколи не перетинаються).
   • Якщо ви отримаєте рівняння без змінних, але таких Ну істина (наприклад, 3 = 3), тоді проблема нескінченна кількість рішень. Два рівняння точно рівні. (Якщо побудувати графік двох рівнянь, ви побачите, що вони точно збігаються).

Метод 2 з 3: Використання методу елімінації

1. Визначає змінну, яку потрібно виключити. Іноді рівняння «усунуть» одне одного у змінній, як тільки ви їх складете. Наприклад, коли ви виконуєте рівняння 3x + 2y = 11 і 5x - 2y = 13 поєднуючись, "+ 2y" та "-2y" скасовують один одного, при цьому всі "ys виключаються з рівняння. Подивіться на рівняння у вашій задачі, щоб з’ясувати, чи буде будь-яка зі змінних усунена таким чином. Якщо жодна зі змінних не усунена, прочитайте наступний крок, щоб отримати пораду.
2. Помножте рівняння, щоб скасувати змінну. (Пропустіть цей крок, якщо змінні вже усунули одна одну). Якщо жодна зі змінних у рівняннях не скасовується сама собою, то вам доведеться змінити одне з рівнянь так, щоб це сталося. Це найпростіше зрозуміти на прикладі:
   • Припустимо, у вас є система рівнянь 3x - y = 3 і -x + 2y = 4.
   • Давайте змінимо перше рівняння так, щоб змінна була р усувається. (Ви також можете зробити це для X зробити і отримати ту саму відповідь).
   • - y " першого рівняння слід виключити за допомогою + 2р У другому рівнянні. Ми можемо зробити це до - y помножте на 2.
   • Помножимо обидві сторони першого рівняння на 2 наступним чином: 2 (3x - y) = 2 (3), і, таким чином 6x - 2y = 6. Зараз буде - 2р відпасти проти + 2р у другому рівнянні.
3. Поєднайте два рівняння. Щоб мати можливість поєднати два рівняння, складіть ліву та праву сторони разом. Якщо ви правильно написали рівняння, одну зі змінних слід відмінити проти іншої. Ось приклад використання тих самих рівнянь, що і останній крок:
   • Ваші рівняння: 6x - 2y = 6 і -x + 2y = 4.
   • Поєднайте ліві сторони: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Поєднайте праву сторону: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Вирішити останню змінну. Спростіть комбіноване рівняння, а потім використовуйте базову алгебру, щоб вирішити останню змінну. Якщо після спрощення не залишилося змінних, перейдіть до останнього кроку в цьому розділі. В іншому випадку вам слід закінчити простою відповіддю на одну зі своїх змінних. Наприклад:
   • Ти маєш: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Згрупуйте змінні X і р один з одним: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Спростіть: 5x = 10
   • Вирішити для x: (5x) / 5 = 10/5, так що х = 2.
5. Вирішити для інших змінних. Ви знайшли одну змінну, але ще не закінчили. Підставте свою відповідь в одне з вихідних рівнянь, щоб можна було розв’язати іншу змінну. Наприклад:
   • Ти це знаєш х = 2, і це одне з ваших початкових рівнянь 3x - y = 3 є.
   • Підключіть 2, замість x: 3 (2) - y = 3.
   • Розв’яжіть y у рівнянні: 6 - у = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, так 6 = 3 + у
   • 3 = y
6. Знайте, що робити, коли обидві змінні виключають одна одну. Іноді поєднання двох рівнянь призводить до рівняння, яке не має значення або не допомагає вирішити проблему. Перевірте свою роботу з самого початку, але якщо ви не помилились, запишіть одну з таких відповідей:
   • Якщо ваше комбіноване рівняння не має змінних і не відповідає дійсності (наприклад, 2 = 7), тоді воно є немає рішення що виконується для обох рівнянь. (Якщо побудувати графік обох рівнянь, ви побачите, що вони паралельні і ніколи не перетинаються).
   • Якщо ваше комбіноване рівняння не має змінних і є істинним (наприклад, 0 = 0), тоді вони є нескінченна кількість рішень. Два рівняння насправді ідентичні. (Якщо розмістити їх у графіку, ви побачите, що вони повністю перекривають один одного).

Метод 3 із 3: Складіть графік рівнянь

1. Використовуйте цей метод лише тоді, коли це вказано. Якщо ви не використовуєте комп’ютер або графічний калькулятор, багато систем рівнянь можна лише приблизно розв’язати за допомогою цього методу. Ваш вчитель або підручник з математики може попросити вас скористатися цим методом, тому ви, мабуть, знайомі з графічними рівняннями, такими як лінії. Ви також можете використовувати цей метод, щоб перевірити, чи правильні ваші відповіді з будь-якого з інших методів.
   • Основна ідея полягає в тому, що ви графікуєте обидва рівняння і визначаєте точку, де вони перетинаються. Значення x та y у цій точці дають значення x та значення y у системі рівнянь.
2. Розв’яжіть обидва рівняння для y. Тримайте два рівняння окремими та використовуйте алгебру для перетворення кожного рівняння у вигляд "y = __x + __". Наприклад:
   • Перше рівняння: 2x + y = 5. Змініть це на: y = -2x + 5.
   • Друге рівняння: -3x + 6y = 0. Змініть це на 6y = 3x + 0, і спростити до y = ½x + 0.
   • Чи однакові однакові рівняння, тоді вся лінія стає «точкою перетину». Напишіть: нескінченні рішення.
3. Накресліть систему координат. Намалюйте вертикальну «вісь у» та горизонтальну «вісь х» на аркуші міліметрового паперу. Почніть з точки перетину ліній і позначте цифри 1, 2, 3, 4 тощо вгору по осі y і знову вправо вздовж осі x. Позначте цифри -1, -2 і т. Д. Вздовж осі y вниз і ліворуч вздовж осі x.
   • Якщо у вас немає міліметрового паперу, використовуйте лінійку, щоб переконатися, що цифри розташовані рівномірно.
   • Якщо ви використовуєте великі числа або десяткові коми, можливо, вам доведеться масштабувати діаграму. (Наприклад, 10, 20, 30 або 0,1, 0,2, 0,3 замість 1, 2, 3).
4. Намалюйте перетин y для кожної лінії. Отримавши рівняння у вигляді y = __x + __ Ви можете почати графікувати його, встановивши точку, де лінія перетинає вісь y. Це завжди має значення y, рівне останньому числу в цьому рівнянні.
   • У згаданих раніше прикладах один рядок (y = -2x + 5) на вісь y 5. Інший рядок (y = ½x + 0) проходить через нульову точку 0. (Це точки (0,5) та (0,0) на графіку).
   • Позначте кожен з рядків іншим кольором, якщо це можливо.
5. Використовуйте схил, щоб продовжувати малювати лінії. У формі y = __x + __, - число для x-го схил поза лінією. Щоразу, коли x збільшується на одиницю, значення y буде збільшуватися зі значенням нахилу. Використовуйте цю інформацію, щоб знайти точку на графіку для кожного рядка, коли x = 1. (Або підставте x = 1 для кожного рівняння та розв’яжіть для y).
   • У нашому прикладі рядок має y = -2x + 5 схил -2. При x = 1 рядок 2 опускається вниз вниз з точки x = 0. Проведіть відрізок між (0,5) і (1,3).
   • Правило y = ½x + 0має нахил ½. При x = 1 лінія йде ½ вгору з точки x = 0. Проведіть відрізок між (0,0) і (1, ½).
   • Коли лінії мають однаковий нахил прямі ніколи не перетинатимуться, тому не існує рішення для системи рівнянь. Напишіть: немає рішення.
6. Продовжуйте складати лінії, поки вони не перетинаються. Зупиніться і подивіться на свою діаграму. Якщо лінії вже перетиналися, перейдіть до наступного кроку. В іншому випадку ви приймаєте рішення, виходячи з того, що роблять рядки:
   • Коли лінії рухаються одна до одної, ви продовжуєте малювати точки в цьому напрямку.
   • Якщо лінії віддаляються одна від одної, поверніться назад і проведіть точки в іншому напрямку, починаючи з x = -1.
   • Якщо лінії ніде не знаходяться близько один до одного, стрибніть вперед і побудуйте подальші точки, такі як x = 10.
7. Знайдіть відповідь на перетині прямих. Як тільки дві лінії перетинаються, значення x та y в цій точці є рішенням проблеми. Якщо вам пощастить, відповідь буде цілим числом. Наприклад, у наших прикладах дві лінії перетинаються (2,1) така ж ваша відповідь x = 2 та y = 1. У деяких системах рівнянь лінії будуть перетинатися при значенні між двома цілими числами, і якщо ваш графік не є надзвичайно точним, буде важко визначити, де це. Якщо це так, ви можете дати відповідь на зразок: "х - від 1 до 2". Ви також можете використовувати метод заміщення або метод усунення, щоб знайти точну відповідь.

Поради

• Ви можете перевірити свою роботу, ввівши відповіді назад у вихідні рівняння. Якщо рівняння відповідають дійсності (наприклад, 3 = 3), то ваша відповідь правильна.
• У методі усунення іноді доводиться множити рівняння на від’ємне число, щоб виключити змінну.

Попередження

• Ці методи не можна використовувати, якщо ви маєте справу з числом потужності, наприклад x. Щоб дізнатись більше про рівняння цього типу, вам знадобиться керівництво з коефіцієнта квадратури з двома змінними.