Зміст

• Кроки
• Порада

На відміну від прямої, коефіцієнт кута (нахилу) постійно змінюється під час руху по кривій. Числення дає уявлення, що кожна точка на графіку може бути виражена як коефіцієнт кута або "миттєва швидкість змін". Дотична лінія в точці - це пряма, яка має однаковий кутовий коефіцієнт і проходить через одну і ту ж точку. Щоб знайти рівняння дотичної лінії, потрібно знати, як отримати вихідне рівняння.

Кроки

Метод 1 із 2: Знайдіть рівняння для дотичної прямої

1. 

   Графічні функції та дотичні лінії (цей крок є необов’язковим, але рекомендується). Діаграма допоможе вам легше зрозуміти проблему та перевірити, чи є відповідь обґрунтованою чи ні. Намалюйте графіки функцій на сітчастому папері, за потреби використовуйте науковий калькулятор з графічною функцією для довідки. Проведіть дотичну пряму через дану точку (пам’ятайте, що дотична пряма проходить через цю точку і має такий самий нахил, що і графік там).
   • Приклад 1: Параболічний малюнок. Проведіть дотичну лінію через точку (-6, -1).
     Незважаючи на те, що ви не знаєте рівняння дотичної, ви все одно можете побачити, що його нахил від’ємний, а ордината від’ємна (далеко нижче параболічної вершини з ординатою -5,5). Якщо остаточна відповідь не відповідає цим деталям, у вашому розрахунку має бути помилка, і вам потрібно ще раз перевірити.

2. 

   
   
   Отримайте першу похідну, щоб знайти рівняння схил дотичної лінії. За допомогою функції f (x) перша похідна f '(x) представляє рівняння для нахилу дотичної лінії в будь-якій точці f (x). Існує багато способів прийому похідних. Ось простий приклад використання правила живлення:
   • Приклад 1 (продовження): Графік заданий функцією.
     Згадуючи правило степеня при прийнятті похідної:.
     Перша похідна функції = f '(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. Замініть x будь-яким значенням a, рівняння дасть нам нахил функції дотичної прямої f (x) у точці x = a.

3. 

   
   
   Введіть значення x точки, що розглядається. Прочитайте задачу, щоб знайти координати точки, щоб знайти дотичну пряму. Введіть координату цієї точки в f '(x). Отриманий результат є нахилом дотичної лінії у вищевказаній точці.
   • Приклад 1 (продовження): Момент, згаданий у статті, - (-6, -1). Використовуючи діагональ -6 напруги в f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     Нахил дотичної лінії дорівнює -3.

4. 

   
   
   Напишіть рівняння дотичної у вигляді прямої, знаючи коефіцієнт кута і точки на ньому. Це лінійне рівняння записується як. Всередині, м є нахилом і є точкою на дотичній лінії. Тепер ви маєте всю інформацію, необхідну для написання дотичного рівняння у цій формі.
   • Приклад 1 (продовження):
     Нахил дотичної лінії дорівнює -3, отже:
     Дотична лінія проходить через точку (-6, -1), тому остаточне рівняння має вигляд:
     Коротше кажучи, ми можемо:
     

5. 

   Графічне підтвердження. Якщо у вас графічний калькулятор, побудуйте вихідну функцію та дотичну лінію, щоб перевірити, чи правильна відповідь. Якщо ви робите розрахунки на папері, використовуйте графіки, намальовані раніше, щоб переконатися, що у вашій відповіді немає явних помилок.
   • Приклад 1 (продовження): Початкове креслення показує, що дотична лінія має від’ємні коефіцієнти кута, а зміщення набагато нижче -5,5. Щойно знайдене рівняння дотичної дорівнює y = -3x -19, що означає, що -3 - нахил кута, а -19 - ордината.

6. 

   Спробуйте вирішити більш складну проблему. Ми знову проходимо всі наведені вище кроки.На даний момент мета полягає в тому, щоб знайти дотичну лінію при x = 2:
   • Знайдіть першу похідну, використовуючи правило степеня :. Ця функція дасть нам нахил дотичної.
   • Для x = 2 знайдіть. Це нахил при x = 2.
   • Зверніть увагу, що цього разу ми не маємо точки, а лише координату x. Щоб знайти координату y, замініть x = 2 у вихідній функції :. Оцінка (2,27).
   • Напишіть рівняння для дотичної прямої, що проходить через точку і має коефіцієнт кута, визначений:
     
     При необхідності зменшіть до y = 25x - 23.
   реклама

Метод 2 із 2: Розв’яжіть супутні проблеми

1. 

   Знайдіть крайній край на графіку. Вони є точками, в яких графік наближається до локального максимуму (точка вище сусідніх точок з обох сторін) або локального мінімуму (нижче сусідніх точок з обох сторін). Дотична лінія завжди має нульовий коефіцієнт у цих точках (горизонтальна лінія). Однак коефіцієнта кута недостатньо, щоб зробити висновок, що це крайня точка. Ось як їх знайти:
   • Візьмемо першу похідну функції, щоб отримати f '(x), нахил нахилу дотичної лінії.
   • Розв’яжіть рівняння f '(x) = 0, щоб знайти крайню точку потенціал.
   • Беручи квадратичну похідну, щоб отримати f '(x), рівняння повідомляє нам швидкість зміни нахилу дотичної лінії.
   • На кожній потенційній крайності змініть координату a у f '' (x). Якщо f '(a) додатне, ми маємо локальний мінімум в a. Якщо f '(a) від’ємне, ми маємо локальну точку максимуму. Якщо f '(a) дорівнює 0, це не буде крайнім значенням, це точка перегину.
   • Якщо максимум або хв досягнуто на a, знайдіть f (a) для визначення перетину.

2. 

   Знайдіть рівняння нормалі. "Нормальна" лінія кривої в даній точці а проходить через неї і перпендикулярна дотичній. Щоб знайти рівняння для нормалі, використовуйте наступне: (нахил нормалі) (нахил нормалі) = -1, коли вони проходять ту саму точку на графіку. Зокрема:
   • Знайдіть f '(x), нахил дотичної лінії.
   • Якщо в даній точці, маємо x = a: знайти f '(a) для визначення нахилу в цій точці.
   • Обчисліть, щоб знайти коефіцієнт нормалі.
   • Напишіть рівняння для перпендикуляра до знання коефіцієнтів кута та точки, через яку він проходить.
   реклама

Порада

• За потреби перепишіть вихідне рівняння у стандартній формі: f (x) = ... або y = ...