Як ділити матриці

Відеоролик: Действия с матрицами в Excel

Зміст

коротке резюме
кроки
Частина 1 з 3: Перевірка «подільності» матриць
Частина 2 з 3: Знаходження оберненої матриці
Частина 3 з 3: Перемноження матриць
Поради
попередження
додаткові статті

Якщо ви знаєте, як перемножити дві матриці, можна приступити до «поділу» матриць. Слово «поділ» укладено в лапки, бо насправді матриці ділити не можна. Операція ділення замінюється операцією множення однієї матриця на матрицю, яка обернена другий матриці. Для простоти розглянемо приклад з цілими числами: 10 ÷ 5. Знайдемо число, зворотне 5: 5 або /₅, А потім розподіл замінимо множенням: 10 x 5; при цьому результат ділення і множення буде одним і тим же. Тому вважається, що розподіл можна замінити множенням на зворотну матрицю. Як правило, такі обчислення застосовуються для вирішення систем лінійних рівнянь.

коротке резюме

Ділити матриці можна. Замість поділу одну матрицю множать на матрицю, зворотну другий матриці. «Розподіл» двох матриць [A] ÷ [B] записується так: [A] * [B] або [B] * [A].
Якщо матриця [B] не є квадратної або якщо її визначник дорівнює 0, запишіть «однозначного рішення немає». В іншому випадку знайдіть визначник матриці [B] і перейдіть до наступного кроку.
Знайдіть обернену матрицю: [B].
Перемножте матриці, щоб знайти [A] * [B] або [B] * [A]. Майте на увазі, що порядок множення матриць впливає на кінцевий результат (тобто результати можуть бути різними).

кроки

Частина 1 з 3: Перевірка «подільності» матриць

1 Розберіться з «поділом» матриць. Насправді матриці ділити не можна. Немає такої математичної операції, як «поділ однієї матриці на іншу». Розподіл замінюється множенням однієї матриці на матрицю, зворотну другий матриці. Тобто запис [A] ÷ [B] не вірна, тому її замінюють таким записом: [A] * [B]. Так як обидві записи є рівнозначними у випадку скалярних величин, теоретично можна говорити про «поділ» матриць, але все-таки краще користуватися правильної термінологією.
- Зверніть увагу, що [A] * [B] і [B] * [A] - це різні операції. Може бути, доведеться виконати обидві операції, щоб знайти всі можливі рішення.
- Наприклад, замість ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ запишіть ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1}}$ .
  Можливо, доведеться обчислити ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ , Щоб отримати інший результат.
2 Переконайтеся, що матриця, на яку ви «ділите» іншу матрицю, є квадратної. Щоб інвертувати матрицю (знайти зворотну матрицю), вона повинна бути квадратної, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо інвертіруемая матриця не є зворотною, однозначного рішення немає.
- Знову ж таки, тут матриці не «діляться». В операції [A] * [B] описане умова відноситься до матриці [B]. У нашому прикладі ця умова відноситься до матриці ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Матриця, яку можна інвертувати, називається невироджених або регулярною. Матриця, яку не можна інвертувати, називається вироджених або сингулярной.
3 Перевірте, чи можна перемножити дві матриці. Щоб перемножити дві матриці, кількість стовпців першої матриці повинна дорівнювати кількості рядків другої матриці. Якщо ця умова не дотримується в запису [A] * [B] або [B] * [A], рішення немає.
- Наприклад, якщо розмір матриці [А] дорівнює 4 х 3, а розмір матриці [B] дорівнює 2 х 2, рішення немає. Не можна перемножити [A] * [B], тому що 4 ≠ 2, і не можна перемножити [B] * [A], так як 2 ≠ 3.
- Зверніть увагу, що у зворотної матриці [B] завжди таку саму кількість рядків і стовпців, що й у вихідної матриці [B]. Немає необхідності знаходити зворотну матрицю, щоб перевірити, що дві матриці можна перемножити.
- У нашому прикладі розмір обох матриць 2 х 2, тому їх можна перемножити в будь-якому порядку.
4 Знайдіть визначник матриці 2 × 2. Запам'ятайте: інвертувати матрицю можна тільки в тому випадку, якщо її визначник не дорівнює нулю (в іншому випадку инвертировать матрицю не можна). Ось як знайти визначник матриці 2 х 2:
- Матриця 2 х 2: визначник матриці ${ Displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ дорівнює ad - bc. Тобто з твору елементів головної діагоналі (проходить через верхній лівий і нижній правий кути) відніміть твори елементів іншої діагоналі (проходить через верхній правий і нижній лівий кути).
- Наприклад, визначник матриці ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ дорівнює (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Визначник відмінний від нуля, тому цю матрицю можна інвертувати.
5 Знайдіть визначник більшої матриці. Якщо розмір матриці дорівнює 3 х 3 або більше, обчислення визначника трохи ускладнюється.
- Таблиця 3 х 3: Виберіть будь-який елемент і закресліть рядок і стовпець, в яких він знаходиться.Знайдіть визначник вийшло матриці 2 × 2, а потім помножте його на вибраний елемент; знак визначника уточніть в спеціальній таблиці. Повторіть описаний процес для двох інших елементів, які знаходяться в одному рядку або стовпці з обраним елементом. Потім знайдіть суму отриманих (трьох) визначників. Прочитайте цю статтю, щоб отримати додаткову інформацію про те, як знаходити визначник матриці 3 х 3.
- великі матриці: Визначник таких матриць краще шукати за допомогою графічного калькулятора або програмного забезпечення. Метод аналогічний методу знаходження визначника матриці 3 × 3, але застосовувати його вручну досить утомливо. Наприклад, щоб знайти визначник матриці 4 х 4, потрібно знайти визначники чотирьох матриць 3 х 3.
6 Продовжіть обчислення. Якщо матриця не є квадратної або якщо її визначник дорівнює нулю, напишіть «однозначного рішення немає», тобто процес обчислення завершено. Якщо ж матриця є квадратної і її визначник не дорівнює нулю, перейдіть до наступного розділу.

Частина 2 з 3: Знаходження оберненої матриці

1 Поміняйте місцями елементи головної діагоналі матриці 2 х 2. Якщо дана матриця 2 × 2, скористайтеся швидким методом знаходження оберненої матриці. Для початку поміняйте місцями верхній лівий елемент і нижній правий елемент. наприклад:
- ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Примітка: більшість людей користується калькуляторами, щоб інвертувати матрицю 3 х 3 (або більшого розміру). Якщо потрібно зробити це вручну, перейдіть в кінець цього розділу.
2 Два елемента місцями не міняйте, але змініть їх знак. Тобто верхній правий елемент і нижній лівий елемент помножте на -1:
- ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Знайдіть число, зворотне значенню визначника. Визначник цієї матриці був знайдений в попередньому розділі, тому не будемо обчислювати його ще раз. Зворотне значення визначника записується так: 1 / (визначник):
- У нашому прикладі визначник дорівнює 13. Зворотне значення: ${ Displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Отриману матрицю помножте на зворотне значення визначника. Кожен елемент нової матриці помножте на зворотне значення визначника. Кінцева матриця буде обернена вихідній матриці 2 х 2:
- ${ Displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Перевірте правильність обчислень. Для цього помножте вихідну матрицю на зворотну. Якщо обчислення правильні, твір вихідної матриці на зворотну дасть одиничну матрицю: (1001){ Displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}. Якщо перевірка пройшла успішно, перейдіть до наступного розділу.
- У нашому прикладі: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Щоб отримати додаткову інформацію про те, як перемножать матриці, прочитайте цю статтю.
- Примітка: операція множення матриць не є комутативність, тобто важливий порядок розташування матриць. Але при множенні вихідної матриці на зворотну будь порядок призводить до одиничної матриці.
6 Знайдіть обернену матрицю для матриці 3 х 3 (Або більшого розміру). Якщо ви вже знайомі з цим процесом, краще скористатися графічним калькулятором або спеціальним програмним забезпеченням. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю вручну, нижче наводиться короткий опис процесу:
- Приєднайте одиничну матрицю I з правого боку вихідної матриці. Наприклад, [B] → [B | I]. У одиничної матриці всі елементи головної діагоналі рівні 1, а всі інші елементи рівні 0.
- Спростіть матрицю так, щоб привести її ліву сторону до ступінчастому увазі; продовжите спрощення, щоб ліва сторона перетворилася в одиничну матрицю.
- Після спрощення матриця прийме такий вигляд: [I | B]. Тобто її права сторона є матрицею, зворотній вихідної матриці.

Частина 3 з 3: Перемноження матриць

1 Запишіть два можливих вираження. Операція множення двох скалярів коммутативна, тобто 2 х 6 = 6 х 2.Це не так в разі множення матриць, тому, можливо, доведеться вирішити два вирази:
- x = [A] * [B] - це рішення рівняння x[B] = [A].
- x = [B] * [A] - це рішення рівняння [B]x = [A].
- Кожну математичну операцію виконуйте по обидва боки рівняння. Якщо [A] = [C], то [B] [A] ≠ [C] [B], тому що [B] знаходиться зліва від [A], але праворуч від [C].
2 Визначте розмір кінцевої матриці. Розмір кінцевої матриці залежить від розмірів перемножуєте матриць. Кількість рядків кінцевої матриці дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців кінцевої матриці дорівнює кількості стовпців другого матриці.
- У нашому прикладі розмір обох матриць ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ і ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ дорівнює 2 х 2, тому розмір вихідної матриці буде 2 х 2.
- Розглянемо більш складний приклад: якщо розмір матриці [A] дорівнює 4 х 3, а розмір матриці [B] дорівнює 3 x 3, То кінцева матриця [A] * [B] буде мати розмір 4 х 3.
3 Знайдіть значення першого елемента. Прочитайте цю статтю або згадайте такі основні дії:
- Щоб знайти перший елемент (перший рядок, перший стовпець) кінцевої матриці [A] [B], обчисліть скалярний твір елементів першого рядка матриці [A] і елементів першого стовпця матриці [B]. У разі матриці 2 x 2 скалярний твір обчислюється так: ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- У нашому прикладі: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ . Таким чином, першим елементом кінцевої матриці буде елемент:
  ${ Displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ Displaystyle = 3 + -4}$
  ${ Displaystyle = -1}$
4 Продовжіть обчислювати скалярні твори, щоб знайти кожен елемент кінцевої матриці. Наприклад, елемент, розташований у другому рядку і першому стовпці, дорівнює скалярному добутку другого рядка матриці [A] і першого стовпця матриці [B]. Спробуйте самостійно знайти залишилися елементи. Ви повинні отримати наступні результати:
- ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Якщо потрібно знайти інше рішення: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 end {pmatrix}}}$

Поради

Матрицю можна розділити на скаляр; для цього кожен елемент матриці ділиться на скаляр.
- Наприклад, якщо матрицю ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ розділити на 2, вийде матриця ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

попередження

Калькулятор не завжди дає абсолютно точні результати, коли справа стосується матричних обчислень. Наприклад, якщо калькулятор стверджує, що елемент є дуже малим числом (таким як 2E), швидше за все, значення дорівнює нулю.