Зміст

• кроки
• Метод 1 з 4: Одночлен в знаменнику
• Метод 2 з 4: двочлен (біном) в знаменнику
• Метод 3 з 4: Зворотне вираз
• Метод 4 з 4: Кубічний корінь в знаменнику

В математиці не прийнято залишати корінь або ірраціональне число в знаменнику дробу. Якщо в знаменнику знаходиться корінь, помножте дріб на деякий член або вираз, щоб позбутися від кореня. Сучасні калькулятори дозволяють працювати з корінням в знаменнику, але освітня програма вимагає, щоб учні вміли позбавлятися від ірраціональності в знаменнику.

кроки

Метод 1 з 4: Одночлен в знаменнику

1. 1 Вивчіть дріб. Дріб записана коректно, якщо в знаменнику немає кореня. Якщо в знаменнику є квадратний або будь-який інший корінь, потрібно помножити чисельник і знаменник на деякий одночлен, щоб позбутися від кореня. Зверніть увагу, що в чисельнику може стояти корінь - це нормально.
   • ${ Displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Тут в знаменнику є корінь ${ Displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Помножте чисельник і знаменник на корінь, який знаходиться в знаменнику. Якщо в знаменнику знаходиться одночлен, раціоналізувати таку дріб досить просто. Помножте чисельник і знаменник на один і той же одночлен (тобто ви примножуєте дріб на 1).
   • ${ Displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Якщо ви вводите вираз для вирішення на калькуляторі, не забудьте укласти кожну частину в дужки, щоб розділити їх.
3. 3 Спростіть дріб (якщо можливо). У нашому прикладі її можна скоротити, розділивши чисельник і знаменник на 7.
   • ${ Displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Метод 2 з 4: двочлен (біном) в знаменнику

1. 1 Вивчіть дріб. Якщо в її знаменнику знаходиться сума або різниця двох одночленним, один з яких містить корінь, можна помножити дріб на такий біном, щоб позбутися від ірраціональності.
   • ${ Displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Щоб зрозуміти це, запишіть дріб ${ Displaystyle { frac {1} {a + b}}}$, Де одночлен ${ Displaystyle a}$ або ${ Displaystyle b}$ містить корінь. В цьому випадку: ${ Displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$. Таким чином, одночлен ${ Displaystyle 2ab}$ все одно буде включати корінь (якщо ${ Displaystyle a}$ або ${ Displaystyle b}$ містить корінь).
   • Розглянемо це на прикладі.
     • ${ Displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Ви бачите, що в знаменнику не можна позбутися від одночлена ${ Displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Помножте чисельник і знаменник на біном, пов'язаний Двочленні в знаменнику. Сполучений біном - це біном з тими ж одночленним, але з протилежним знаком між ними. Наприклад, біном ${ Displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ пов'язаний двочленні ${ Displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ Displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Усвідомте сенс цього методу. Знову розглянемо дріб ${ Displaystyle { frac {1} {a + b}}}$. Помножте чисельник і знаменник на біном, пов'язаний Двочленні в знаменнику: ${ Displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$. Таким чином, немає одночленним, які містять корені. Так як одночлени ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ зводяться в квадрат, коріння будуть ліквідовані.
3. 3 Спростіть дріб (якщо можливо). Якщо в чисельнику і знаменнику присутній загальний множник, скоротіть його. У нашому випадку 4 - 2 = 2, що можна використовувати для скорочення дробу.
   • ${ Displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Метод 3 з 4: Зворотне вираз

1. 1 Вивчіть завдання. Якщо потрібно знайти вираз, зворотне даному, яке містить корінь, доведеться раціоналізувати отриману дріб (і тільки потім спрощувати її). У цьому випадку використовуйте метод, описаний в першому або другому розділах (в залежності від завдання).
   • ${ Displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Запишіть зворотне вираження. Для цього розділіть 1 на даний вираз; якщо дана дріб, поміняйте місцями чисельник і знаменник. Пам'ятайте, що будь-який вираз є дробом, в знаменнику якої знаходиться 1.
   • ${ Displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Помножте чисельник і знаменник на деякий вираз, щоб позбутися від кореня. Помноживши чисельник і знаменник на одне і те ж вираз, ви примножуєте дріб на 1, тобто значення дробу не змінюється. У нашому прикладі дан біном, тому помножте чисельник і знаменник на зв'язаний двочлен.
   • ${ Displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Спростіть дріб (якщо можливо). У нашому прикладі 4 - 3 = 1, так що вираз в знаменнику дробу можна скоротити повністю.
   • ${ Displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • У відповіді вийшов біном, пов'язаний даному біному. Це просто збіг.

Метод 4 з 4: Кубічний корінь в знаменнику

1. 1 Вивчіть дріб. У задачі можуть зустрітися кубічні корені, хоча це досить рідко. Описаний метод можна застосовувати до коріння будь-якого ступеня.
   • ${ Displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Перепишіть корінь у вигляді ступеня. Тут не можна помножити чисельник і знаменник на деякий одночлен або вираз, тому що раціоналізація здійснюється трохи по-іншому.
   • ${ Displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Помножте чисельник і знаменник дробу на деяку ступінь, щоб показник ступеня в знаменнику став дорівнює 1. У нашому прикладі помножте дріб на ${ Displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$. Пам'ятайте, що при множенні ступенів їх показники складаються: ${ Displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ Displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Цей метод можна застосовувати до будь-яких коріння ступеня n. Якщо дана дріб ${ Displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, Помножте чисельник і знаменник на ${ Displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$. Таким чином, показник ступеня в знаменнику стане рівним 1.
4. 4 Спростіть дріб (якщо можливо).
   • ${ Displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Якщо потрібно, у відповіді запишіть корінь. У нашому прикладі показник ступеня розкладіть на два множники: ${ Displaystyle 1/3}$ і ${ Displaystyle 2}$.
     • ${ Displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$