Зміст

• кроки
• Частина 1 з 3: Транспонування матриці
• Частина 2 з 3: Властивості транспонування
• Частина 3 з 3: ермітовим-сполучена матриця з комплексними елементами
• Поради

Якщо ви навчитеся транспонувати матриці, то краще зрозумієте їх структуру. Можливо, ви вже знаєте про квадратних матрицях і про їх симетрії, що допоможе вам освоїти транспонування. Крім іншого, транспонування допомагає переводити вектори в матричну форму і знаходити векторні твори. При роботі з комплексними матрицями ермітовим-зв'язані (сполученої-транспонований) матриці допомагають вирішити найрізноманітніші завдання.

кроки

Частина 1 з 3: Транспонування матриці

1. 1 Візьміть будь-яку матрицю. Можна транспонувати будь-яку матрицю, незалежно від кількості рядків і стовпців. Найбільш часто доводиться транспонувати квадратні матриці, які мають однакову кількість рядків і стовпців, тому для простоти розглянемо як приклад таку матрицю:
   • матриця A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Уявіть перший рядок прямий матриці у вигляді першого стовпчика транспонованою матриці. Просто запишіть перший рядок у вигляді стовпчика:
   • транспонована матриця = A
   • перший стовпець матриці A:
     1
     2
     3
3. 3 Виконайте те ж саме з іншими рядками. Другий рядок вихідної матриці стане другим стовпцем транспонованою матриці. Переведіть всі рядки в стовпці:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Спробуйте транспонувати неквадратні матрицю. Точно таким же чином можна транспонувати будь-яку прямокутну матрицю. Просто запишіть перший рядок у вигляді першого стовпчика, другий рядок - у вигляді другого шпальти, і так далі. У наведеному нижче прикладі кожен рядок вихідної матриці позначена своїм кольором, щоб було зрозуміліше, як вона перетвориться при транспонировании:
   • матриця Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • матриця Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Висловимо транспонування у вигляді математичного запису. Хоча ідея транспонування дуже проста, краще все ж записати її у вигляді суворої формули. При матричної записи не потрібні будь-які спеціальні терміни:
   • Припустимо, дана матриця B, що складається з m x n елементів (m рядків і n стовпців), тоді транспонована матриця B являє собою набір з n x m елементів (n рядків і m стовпців).
   • Для кожного елемента b_xy (рядок x і стовпець y) Матриці B в матриці B існує еквівалентний йому елемент b_yx (рядок y і стовпець x).

Частина 2 з 3: Властивості транспонування

1. 1 (M = M. Після подвійного транспонування виходить вихідна матриця. Це досить очевидно, так як при повторному транспонировании ви знову міняєте рядки і стовпці, в результаті чого виходить первісна матриця.
2. 2 Дзеркально відобразіть матрицю щодо головної діагоналі. Квадратні матриці можна "перевертати" щодо головної діагоналі. При цьому елементи уздовж головної діагоналі (від a₁₁ до нижнього правого кута матриці) залишаються на місці, а інші елементи переміщаються по іншу сторону цієї діагоналі і залишаються на тій же відстані від неї.
   • Якщо вам складно уявити даний метод, візьміть аркуш паперу і намалюйте матрицю 4x4. Потім переставте її бічні елементи відносно головної діагоналі. Простежте при цьому за елементами a₁₄ і a₄₁. При транспонировании вони повинні помінятися місцями, як і інші пари бічних елементів.
3. 3 Транспонується симетричну матрицю. Елементи такої матриці симетричні відносно головної діагоналі. Якщо виконати описану вище операцію і "перевернути" симетричну матрицю, вона не зміниться. Всі елементи поміняються на аналогічні. Фактично, це стандартний спосіб визначити, симетрична чи є та чи інша матриця. Якщо виконується рівність A = A, значить, матриця A симетрична.

Частина 3 з 3: ермітовим-сполучена матриця з комплексними елементами

1. 1 Розглянемо комплексну матрицю. Елементи комплексної матриці складаються з дійсної та уявної частини. Таку матрицю також можна транспонувати, хоча в більшості практичних застосувань використовують сполученої-транспонований, або ермітовим-зв'язані матриці.
   • Нехай дана матриця C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Замінимо елементи комплексно-сполученими числами. При операції комплексного сполучення дійсна частина залишається такою ж, а уявна частина змінює свій знак на зворотний. Проробимо цю операцію з усіма чотирма елементами матриці.
   • знайдемо комплексно-сполучену матрицю C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Транспоніруем отриману матрицю. Візьмемо знайдену комплексно-сполучену матрицю і просто транспоніруем її. В результаті у нас вийде сполученої-транспонована (ермітовим-сполучена) матриця.
   • сполученої-транспонована матриця C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Поради

• У даній статті транспонована матриця щодо матриці А позначається як A. Зустрічається також позначення A 'або Ã.
• У даній статті ермітовим-сполучена матриця щодо матриці А позначається як A - це загальноприйняте позначення в лінійної алгебри. У квантовій механіці часто використовують позначення A.Іноді ермітовим-сполучену матрицю записують у вигляді A *, проте такого позначення краще уникати, так як воно використовується також для запису комплексно-сполученої матриці.