Факторні квадратні рівняння

Відеоролик: Квадратні рівняння (8 клас. Алгебра)

Зміст

Крок
Початок
Метод 1 з 6: Випробування та помилки
Метод 2 з 6: Розкладання
Метод 3 з 6: Потрійна гра
Метод 4 з 6: Різниця між двома квадратами
Метод 5 з 6: Формула ABC
Метод 6 з 6: Використання калькулятора
Поради
Попередження
Потреби

Багаточлен містить змінну (x) до певної міри та кілька доданків та / або констант. Щоб розкласти множник на множини, вам доведеться розбити вираз на менші вирази, які множать разом. Це вимагає певного рівня математики, і тому може бути важко зрозуміти, якщо ви ще не так далеко.

Крок

Початок

Рівняння. Стандартним форматом квадратного рівняння є:

ax + bx + c = 0
Почніть з упорядкування членів у вашому рівнянні від найбільшої до найменшої потужності. Наприклад, візьмемо:

6 + 6x + 13x = 0
Ми змінимо порядок цього виразу, щоб з ним стало легше працювати - просто перемістивши терміни:

6x + 13x + 6 = 0
Знайдіть фактори, використовуючи один із наведених нижче методів. Факторинг полінома призведе до двох менших виразів, які можна помножити разом, щоб отримати вихідний поліном:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
У цьому прикладі (2x +3) та (3x + 2) є фактори від вихідного виразу, 6x + 13x + 6.
Перевірте свою роботу! Помножте знайдені вами коефіцієнти. Поєднайте ті самі терміни, і все готово. Починати з:

(2x + 3) (3x + 2)
Давайте перевіримо це, помноживши доданки за допомогою EBBL (перший - зовнішній - внутрішній - останній), що дає нам:

6x + 4x + 9x + 6
Тепер ми додамо 4x та 9x разом, оскільки вони є рівними доданками. Ми знаємо, що фактори правильні, тому що повертаємо рівняння, з якого ми почали:

6x + 13x + 6

Метод 1 з 6: Випробування та помилки

Якщо у вас досить простий поліном, ви можете одразу побачити, які фактори. Наприклад, після певної практики багато математиків можуть побачити вираз 4х + 4х + 1 має фактори (2x + 1) та (2x + 1) просто тому, що вони бачили це стільки разів. (Очевидно, це не буде так просто з більш складними поліномами.) Візьмемо менш стандартний вираз для цього прикладу:

3x + 2x - 8

Запишіть фактори a термін і c термін. Використовуйте формат ax + bx + c = 0, розпізнати a і c терміни та зазначте, які фактори існують. Для 3x + 2x - 8 це означає:

a = 3 і має 1 пару факторів: 1 * 3
c = -8, і це має 4 пари факторів: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 та -1 * 8.
Запишіть дві пари дужок з порожнім пробілом. Тут ви вводите константи кожного виразу:

(х) (х)
Заповніть пробіл перед знаками x кількома можливими факторами a значення. Для a термін у нашому прикладі, 3x, є лише 1 можливість:

(3x) (1x)
Заповніть 2 пробіли після знаків х кількома факторами для констант. Припустимо, ми виберемо 8 і 1. Введіть це:

(3x8) (X1)
Визначте, які знаки (плюс чи мінус) повинні бути між х змінними та числами. Залежно від символів оригінального виразу можна з’ясувати, якими повинні бути символи констант. Візьмемо дві константи двох факторів h і k згадати:

Якщо ax + bx + c, то (x + h) (x + k)
Якщо ax - bx - c або ax + bx - c, то (x - h) (x + k)
Якщо ax - bx + c, то (x - h) (x - k)
У нашому прикладі 3x + 2x - 8, знак: (x - h) (x + k), що дає нам такі два фактори:

(3x + 8) та (x - 1)
Перевірте свій вибір множенням перший-зовнішній-внутрішній-останній. Швидкий перший тест, щоб перевірити, чи середній термін є принаймні правильним значенням. Якщо ні, то у вас, мабуть, неправильний c вибрані фактори. Давайте перевіримо відповідь:

(3x + 8) (x - 1)
При множенні отримуємо:

3x - 3x + 8x - 8
Спростіть цей вираз, додавши подібні терміни (-3x) та (8x), і ми отримаємо:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Тепер ми знаємо, що взяли неправильні фактори:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Якщо потрібно, змініть свій вибір. У нашому прикладі спробуємо 2 і 4, замість 1 і 8:

(3x + 2) (x - 4)
Тепер наш c доданок дорівнює -8, але зовнішній / внутрішній добуток (3x * -4) та (2 * x) дорівнює -12x та 2x, що не є правильним b термін або + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Змініть порядок, якщо це необхідно. Спробуємо перекинути 2 і 4:

(3x + 4) (x - 2)
Тепер наш c термін (4 * 2 = 8) і все ще гаразд, але зовнішні / внутрішні продукти - -6x та 4x. Коли ми поєднуємо їх, отримуємо:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ми зараз наближаємось до 2x, де ми хочемо бути, але знак ще не правильний.
Перевірте свої символи, якщо це необхідно. Ми зберігаємо це замовлення, але поміняємо його знаком мінус:

(3x - 4) (x + 2)
Тепер c термін все ще в порядку, і зовнішні / внутрішні продукти тепер (6x) та (-4x). Тому що:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Тепер ми бачимо позитивний 2x назад від початкової задачі. Це повинні бути правильні фактори.

Метод 2 з 6: Розкладання

Цей метод дає всі можливі фактори a і c терміни та використовує їх, щоб з’ясувати, які фактори є правильними. Якщо цифри дуже великі, або здогадки інших методів затягнуться занадто довго, використовуйте цей спосіб. Приклад:

6x + 13x + 6

Помножте a термін з c термін. У цьому прикладі a дорівнює 6 і c також становить 6.

6 * 6 = 36
Знайди b термін шляхом розкладання на факторизації та тестування. Ми шукаємо 2 числа, які є факторами a * c і разом b термін (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Підставте два числа, які ви отримали у своєму рівнянні, як суму b термін. Давайте k і h для представлення двох чисел, які ми маємо, 4 і 9:

сокира + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Розкладіть множник на багаточлен шляхом групування. Організуйте рівняння так, щоб можна було відокремити найбільший спільний дільник перших двох доданків та останніх двох доданків. Обидва фактори повинні бути однаковими. Складіть GGD разом і розмістіть їх у дужках поруч із множниками; в результаті ви отримуєте два фактори:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Метод 3 з 6: Потрійна гра

Подібно до методу розкладання. Метод "потрійної гри" досліджує можливі фактори продукту a і c і використовувати його, щоб з’ясувати, що b повинно бути. Візьмемо рівняння як приклад:

8x + 10x + 2

Помножте a термін з c термін. Як і при методі декомпозиції, ми використовуємо це для визначення кандидатів на b термін. У цьому прикладі: a дорівнює 8 і c дорівнює 2.

8 * 2 = 16
Знайдіть 2 числа з цим числом як добутком і із сумою, що дорівнює b термін. Цей крок такий самий, як і метод розкладання - ми перевіряємо кандидатів на константи. Продукт a і c умови дорівнює 16, а c термін 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Візьміть ці 2 числа і підставте їх у формулу "потрійна гра". Візьміть 2 числа з попереднього кроку - давайте отримаємо їх h і k зателефонуйте їм і вставте їх у вираз:

((ax + h) (ax + k)) / a

Завдяки цьому ми отримуємо:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Подивіться, на який із двох доданків у знаменнику можна повністю поділити a. У цьому прикладі ми розглядаємо, чи можна (8x + 8) чи (8x + 2) поділити на 8. (8x + 8) ділиться на 8, тому ми ділимо цей термін на a а іншого залишаємо без змін.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Термін, який ми тут зберегли, є тим, що залишається після ділення на a термін: (x + 1)
Візьміть найбільший спільний дільник (gcd) з одного або обох доданків, якщо це можливо. У цьому прикладі ми бачимо, що другий доданок має gcd 2, оскільки 8x + 2 = 2 (4x + 1). Поєднайте цю відповідь із терміном, який ви виявили на попередньому кроці. Це фактори вашого порівняння.

2 (x + 1) (4x + 1)

Метод 4 з 6: Різниця між двома квадратами

Ви можете розпізнати деякі коефіцієнти в поліномі як "квадрати", або також як добуток 2 однакових чисел. З’ясувавши, які квадрати є, ви зможете набагато швидше розкласти множники на множники. Візьмемо рівняння:

27x - 12 = 0

Видаліть gcd з рівняння, якщо це можливо. У цьому випадку ми бачимо, що 27 і 12 діляться на 3, тому ми можемо розмістити їх окремо:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Визначте, чи є коефіцієнти вашого рівняння квадратами. Для використання цього методу необхідно визначити корінь термінів. (Зверніть увагу, що ми пропустили знаки мінус - оскільки ці числа є квадратами, вони можуть бути добутком 2 від’ємних чисел)

9x = 3x * 3x та 4 = 2 * 2
Використовуючи визначений вами квадратний корінь, тепер ви можете записати множники. Беремо a і c значення з попереднього кроку: a = 9 і c = 4, отже корінням цього є: - √a = 3 і √c = 2. Це коефіцієнти факторизованих виразів:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Метод 5 з 6: Формула ABC

Якщо, здається, нічого не працює, і ви не можете вирішити рівняння, використовуйте формулу abc. Візьмемо такий приклад:

x + 4x + 1 = 0

Введіть відповідні значення у формулу abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Тепер ми отримуємо вираз:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Вирішити для x. Тепер ви повинні отримати 2 значення для x. Це:

x = -2 + √ (3) або x = -2 - √ (3)
Використовуйте значення x для визначення факторів. Введіть значення x, отримані у двох рівняннях, як константи. Це ваші фактори. Якщо відповісти на два h і k запишемо два фактори наступним чином:

(x - h) (x - k)
У цьому випадку остаточна відповідь:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Метод 6 з 6: Використання калькулятора

Якщо дозволено (або обов’язково) використовувати графічний калькулятор, це значно полегшує факторинг, особливо для іспитів та іспитів. Наступні інструкції стосуються графічного калькулятора TI. Ми використовуємо рівняння з прикладу:

y = x - x - 2

Введіть рівняння у свій калькулятор. Ви будете використовувати вирішувач рівнянь, також відомий як екран [Y =].
Побудуйте графік рівняння за допомогою калькулятора. Після введення рівняння натисніть [GRAPH] - тепер ви побачите криву лінію, параболу як графічне зображення вашого рівняння (і це парабола, оскільки ми маємо справу з поліномом).
Знайдіть, де парабола перетинається з віссю х. Оскільки квадратичне рівняння традиційно записується як ax + bx + c = 0, то ці два значення x роблять рівняння рівним нулю:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Якщо ви не можете побачити, де парабола перетинається з віссю х, натисніть [2nd], а потім [TRACE]. Натисніть [2] або виберіть "нуль". Перемістіть курсор ліворуч від перехрестя та натисніть [ENTER]. Перемістіть курсор праворуч від перехрестя та натисніть [ENTER]. Наведіть курсор якомога ближче до точки перетину та натисніть [ENTER]. Калькулятор вкаже значення x. Зробіть це і для іншого перехрестя.
Введіть отримані значення x у два факторизовані вирази. Якщо взяти два значення x h і k як термін вираз, який ми використовуємо, виглядає так:

(x - h) (x - k) = 0
Тож наші два фактори стають:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Поради

Якщо ви розклали поліном на формулу abc, а ваша відповідь містить корені, ви можете перетворити значення x на дроби, щоб перевірити їх.
Якщо перед доданком немає коефіцієнта, тоді коефіцієнт дорівнює 1, наприклад x = 1x.
Якщо у вас є калькулятор TI-84, існує програма під назвою SOLVER, яка може вирішити для вас квадратне рівняння. Він також вирішує поліноми вищого ступеня.
Після великої практики ви з часом зможете розгадувати багаточлени напам'ять. Але щоб бути в безпеці, краще завжди їх виписувати.
Якщо термін не існує, коефіцієнт дорівнює нулю. Тоді може бути корисно переписати рівняння. Наприклад x + 6 = x + 0x + 6.

Попередження

Якщо ви вивчаєте це поняття на уроці математики, зверніть увагу на те, що пояснює викладач, і не використовуйте просто свій улюблений метод. Можливо, вас попросять використовувати певний метод для тесту, або графічні калькулятори можуть бути заборонені.