Зміст

• Кроки
• Порада

Якщо ви математик або графічний програміст, можливо, вам доведеться знайти кут між двома заданими векторами. У цій статті wikiHow показує, як саме це зробити.

Кроки

Частина 1 з 2: Знайдіть кут між двома векторами

1. 

   Визначення вектора. Запишіть всю інформацію про два вектори, які у вас є. Припустимо, у вас є лише зазначені параметри їх розмірних координат (їх також називають компонентами). Якщо ви вже знаєте довжину (величину) вектора, ви можете пропустити деякі з наведених нижче кроків.
   • Приклад: двовимірний вектор = (2,2) та двовимірний вектор = (0,3). Їх також можна записати як = 2i + 2j і = 0i + 3j = 3j.
   • Незважаючи на те, що у прикладі цієї статті використовуються двовимірні вектори, наступні інструкції можуть застосовуватися до векторів з будь-якою кількістю вимірів.

2. 

   
   
   Запишіть формулу косинуса. Щоб знайти кут θ між двома векторами, ми почнемо з формули для пошуку косинуса для цього кута. Ви можете дізнатися про цю формулу нижче або просто записати її так:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| означає "довжина вектора".
   • • є скалярним добутком двох векторів - це буде пояснено нижче.

3. 

   
   
   Обчисліть довжину кожного вектора. Уявіть собі прямокутний трикутник, який складається з компонентів вектора x, y та самого вектора. Вектор утворює гіпотенузу трикутника, тому для знаходження його довжини використовуємо теорему Піфагора. Насправді цю формулу можна легко розширити до вектора будь-якої кількості вимірів.
   • || u || = u₁ + u₂. Якщо вектор має більше двох елементів, вам просто потрібно продовжувати додавати + u₃ + u₄ +...
   • Отже, для двовимірного вектора || u || = √ (u₁ + u₂).
   • У цьому прикладі |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Обчисліть скалярний добуток двох векторів. Можливо, ви вивчили метод векторного множення, також відомий як скаляр це. Щоб розрахувати скалярний продукт щодо їх складу, помножте інгредієнти в кожному напрямку разом, а потім складіть весь результат.
   • Для графічної програми, будь ласка, зверніться до Поради перед подальшим читанням.
   • З математики • = u₁v₁ + u₂v₂, де, u = (u₁, u₂). Якщо вектор має більше двох елементів, просто додайте + u₃v₃ + u₄v₄...
   • У цьому прикладі • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Це скалярний добуток вектора і вектора.

5. 

   Помістіть отримані результати у формулу. Пам’ятайте, що cosθ = (•) / (|||| || ||). Тепер ми знаємо і скалярний добуток, і довжину кожного вектора. Введіть їх у формулу для обчислення косинуса кута.
   • У нашому прикладі cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Знайдіть кут на основі його косинуса. Ви можете використовувати функцію arccos або cos в калькуляторі, щоб знайти θ за відомим значенням cos. З деякими результатами ви можете знайти кут на основі одиничного кола.
   • У цьому прикладі cosθ = √2 / 2. Введіть "arccos (√2 ​​/ 2)" у свій калькулятор, щоб знайти кут. Або ви можете знайти кут θ на одиничному колі в положенні cosθ = √2 / 2. Це справедливо для θ = /₄ або 45º.
   • Поєднуючи все, остаточна формула: кут θ = арккосинус ((•) / (|||| || ||))
   реклама

Частина 2 з 2: Визначення формули кута

1. 

   Зрозумійте призначення формули. Ця формула не була похідною від існуючих правил. Натомість воно формується як визначення скалярного добутку та кута між двома векторами. Навіть незважаючи на це, це не було свавільним рішенням. Повертаючись до базової геометрії, ми можемо зрозуміти, чому ця формула містить інтуїтивні та корисні визначення.
   • У наведених нижче прикладах використовуються двовимірні вектори, оскільки вони є найпростішими для розуміння та найпростішими. Тривимірні або більше векторів мають властивості, визначені майже подібними загальними формулами.

2. 

   Перегляньте теорему Косінуса. Розглянемо звичайний трикутник з кутом θ між сторонами a і b, протилежною стороні c. Теорема Косинуса стверджує, що c = a + b -2abcos(θ). Цей результат виводиться досить просто з базової геометрії.

3. 

   З’єднайте два вектори, утворюючи трикутник. Намалюйте пару двовимірних векторів на папері, вектори та вектори, причому θ - кут між ними. Намалюйте третій вектор між цими двома, щоб створити трикутник. Іншими словами, намалюйте вектор, такий що + =. Вектор = -.

4. 

   Напишіть теорему Косинуса для цього трикутника. Підставимо довжину сторони нашого "векторного трикутника" в теорему Косинуса:
   • || (а - б) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Перепишіть за допомогою скалярного добутку. Пам’ятайте, скалярний добуток - це зображення одного вектора на іншому. Скалярне добуток вектора на себе не вимагає проекції, оскільки тут немає різниці в напрямку. Це означає • = || a ||. Використовуючи це, ми перепишемо рівняння:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Успішно переписано ту саму формулу. Розгорніть ліву частину формули, а потім спростіть, щоб отримати формулу, яка використовується для пошуку кутів.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || а || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   реклама

Порада

• Щоб швидко змінити значення та швидко вирішити проблему, використовуйте цю формулу для будь-якої пари двовимірних векторів: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (с₁ • v₂)).
• Якщо ви працюєте з програмним забезпеченням для комп’ютерної графіки, швидше за все, вам доведеться турбуватися лише про розміри вектора, не турбуючись про їх довжину. Для скорочення рівняння та прискорення програми виконайте такі дії:
  • Нормалізуйте кожен вектор так, щоб вони дорівнювали 1. Для цього розділіть кожну складову вектора на його довжину.
  • Отримайте нормований добуток скаляра замість вихідного вектора.
  • Оскільки довжина дорівнює 1, ми можемо виключити елементи довжини з рівняння. Нарешті, отримане рівняння кута є arccos (•).
• На основі формули косинуса ми можемо швидко визначити, кут гострий чи тупий. Почніть з cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Ліва та права сторони рівняння повинні мати однаковий знак (позитивний чи негативний).
  • Оскільки довжина завжди додатна, cosθ повинен мати той самий знак, що і скалярний добуток.
  • Отже, якщо добуток є позитивним, cosθ також є позитивним. Ми знаходимось у першому квадранті одиничного кола з θ <π / 2 або 90º. Кут, який потрібно знайти, - це гострий кут.
  • Якщо скалярний добуток від’ємний, cosθ від’ємний. Ми знаходимось у другому квадранті одиничного кола, з π / 2 <θ ≤ π або 90º <θ ≤ 180º. Це тюремний кут.