Як робити математичні докази

Відеоролик: Как сделать объемный КУБ из бумаги А4? ||| Геометрические фигуры своими руками

Зміст

кроки
Метод 1 з 3: Зрозумійте умову задачі
Метод 2 з 3: Сформулюйте доказ
Метод 3 з 3: Запишіть доказ
Поради

Знаходження математичного докази може виявитися непростим завданням, але вам допоможе знання математики і вміння оформити доказ. На жаль, не існує швидких і простих методів навчитися вирішувати математичні завдання. Необхідно як слід вивчити предмет і запам'ятати основні теореми і визначення, які стануть в нагоді вам при доказі того чи іншого математичного постулату. Вивчайте приклади математичних доказів і тренуйтеся самі - це допоможе вам вдосконалити свою майстерність.

кроки

Метод 1 з 3: Зрозумійте умову задачі

1 Визначте, що потрібно знайти. Насамперед необхідно з'ясувати, що саме слід довести. Крім іншого, цим визначатиметься останнє твердження в вашому доказі. На даному етапі слід також зробити певні припущення, в рамках яких ви будете працювати. Щоб краще зрозуміти завдання і приступити до її вирішення, з'ясуйте, що потрібно довести, і зробіть необхідні припущення.
2 Зробіть малюнок. При вирішенні математичних задач іноді корисно зобразити їх у вигляді малюнка або схеми. Це особливо важливо в разі геометричних задач - малюнок допомагає наочно уявити умова і значно полегшує пошук рішення.
- При створенні малюнка або схеми використовуйте наведені в умові дані. Відзначте на малюнку відомі і невідомі величини.
- Малюнок полегшить вам пошук докази.
3 Вивчіть докази подібних теорем. Якщо вам не вдається відразу знайти рішення, знайдіть подібні теореми і подивіться, як вони доводяться.
- Врахуйте, що необхідно аргументувати кожен крок докази. Подивіться, як можна довести різні теореми в інтернеті або підручниках з математики.
4 Задавайте питання. Нічого страшного, якщо вам не вдасться відразу ж знайти доказ.Якщо вам щось незрозуміло, запитайте про це вчителя або однокласників. Можливо, у ваших товаришів виникли ті ж питання, і ви зможете розібратися з ними разом. Краще поставити кілька запитань, ніж знову і знову безуспішно намагатися знайти доказ.
- Підійдіть до вчителя після уроків і з'ясуйте всі неясні питання.

Метод 2 з 3: Сформулюйте доказ

1 Сформулюйте математичне доказ. Математичним доведенням називають підкріплену теоремами і визначеннями послідовність тверджень, яка доводить будь-якої математичний постулат. Докази є єдиним способом визначити, що те чи інше твердження вірне в математичному сенсі.
- Уміння записати математичне доказ свідчить про глибоке розуміння завдання і володінні необхідними інструментами (лемами, теоремами і визначеннями).
- Суворі докази допоможуть вам по-новому поглянути на математику і відчути її притягальну силу. Просто спробуйте довести якесь твердження, щоб отримати уявлення про математичні методи.
2 Врахуйте свою аудиторію. Перш ніж приступити до запису докази, слід подумати про те, для кого воно призначене, і врахувати рівень знань цих людей. Якщо ви записуєте доказ для подальшої публікації в науковому журналі, воно буде відрізнятися від того випадку, коли ви виконуєте шкільне завдання.
- Знання цільової аудиторії дозволить вам записати доказ з урахуванням підготовки читачів, щоб вони зрозуміли його.
3 Визначте тип докази. Є кілька видів математичних доказів, і вибір конкретної форми залежить від цільової аудиторії і розв'язуваної задачі. Якщо ви не знаєте, який вид вибрати, порадьтеся зі своїм учителем. У старших класах школи потрібно оформляти докази в дві колонки.
- При записи докази в дві колонки в одну заносять вихідні дані і твердження, а в другу - відповідні докази цих тверджень. Таку форму записи часто використовують при вирішенні геометричних задач.
- При менш формальної записи доказів використовують граматично правильні конструкції і меншу кількість символів. На більш високих рівнях слід застосовувати саме цей запис.
4 Зробіть начерк докази у вигляді двох колонок. Така форма допомагає впорядкувати думки і послідовно вирішити завдання. Розділіть сторінку навпіл вертикальною лінією і запишіть вихідні дані і які з них затвердження в лівій частині. Справа навпроти кожного твердження запишіть відповідні визначення та теореми.
- наприклад:
- кути A і B є суміжними - дано;
- кут ABC є розгорнутим - визначення розгорнутого кута;
- величина кута ABC становить 180 ° - визначення прямої лінії;
- кут A + кут B = кут ABC - правило складання кутів;
- кут A + кут B = 180 ° - підстановка;
- кут A є додатковим до кута B - визначення додаткових кутів;
- що і потрібно було довести.
5 Запишіть доказ з двох колонок у вигляді неформального докази. Візьміть за основу запис у вигляді двох колонок і запишіть доказ в більш короткій формі з меншою кількістю символів і скорочень.
- Наприклад: припустимо, що кути А і В є суміжними. Відповідно до гіпотези, ці кути доповнюють один одного. Будучи суміжними, кут A і кут B утворюють пряму лінію. Якщо сторони кута утворюють пряму лінію, такий кут дорівнює 180 °. Складемо кути A і B і отримаємо пряму лінію ABC. Таким чином, сума кутів A і B дорівнює 180 °, тобто ці кути є додатковими. Що і потрібно було довести.

Метод 3 з 3: Запишіть доказ

1 Освойте мову доказів. Для запису математичних доказів використовують стандартні затвердження і фрази. Необхідно вивчити ці фрази і знати, як ними користуватися.
- Фраза "Якщо A, то B" означає, що якщо твердження А вірно, то повинно бути вірним і твердження В.
- "A тоді і тільки тоді, якщо B" означає, що твердження A і B або вірні, або невірні одночасно. Така конструкція еквівалентна двом одночасним твердженням: "Якщо A, то B" і "Якщо A не виконується, то не виконується і B".
- "A тільки якщо B" еквівалентно "Якщо В, то А", тому така конструкція зустрічається нечасто. Проте необхідно пам'ятати про неї.
- При записи доказів намагайтеся замість особистого займенника "я" використовувати "ми".
2 Запишіть всі вихідні дані. При складанні докази насамперед слід визначити і виписати все, що дано в завданні. В цьому випадку ви будете мати перед очима все вихідні дані, на підставі яких необхідно отримати рішення. Уважно прочитайте умову задачі і випишіть все, що в ньому дано.
- Наприклад: доведіть, що два суміжних кута (кут A і кут B) доповнюють один одного.
- Дано: суміжні кути A і B.
- Довести: кут A є додатковим до кута B.
3 Визначте всі змінні. Крім запису вихідних даних корисно також виписати інші змінні. Щоб читачам було зручніше, запишіть змінні на самому початку докази. Якщо змінні не визначені, читач може заплутатися і не зрозуміти ваше доказ.
- Не використовуйте в ході докази невизначені раніше змінні.
- Наприклад: у розглянутій вище задачі змінними є величини кутів A і B.
4 Спробуйте знайти доказ в зворотному порядку. Багато задач легше вирішувати в зворотній послідовності. Почніть з того, що потрібно довести, і подумайте, як можна пов'язати висновки з вихідною умовою.
- Перечитайте початкові і кінцеві кроки і подивіться, чи не схожі вони один на одного. Використовуйте при цьому початкові умови, визначення і схожі докази з інших завдань.
- Задавайте самому собі питання і просувайтеся вперед. Щоб довести окремі твердження, запитуйте себе: "Чому це саме так?" - і: "Чи може це виявитися неправильним?"
- Не забувайте послідовно записувати окремі кроки, поки не отримаєте кінцевий результат.
- Наприклад: якщо кути A і B є додатковими, їх сума повинна складати 180 °. Згідно з визначенням суміжних кутів, кути A і B утворюють пряму лінію ABC. Так як лінія утворює кут 180 °, в сумі кути A і B дають 180 °.
5 Розмістіть окремі кроки докази так, щоб воно було послідовним і логічним. Почніть з самого початку і просувайтеся до доказуваному тези. Хоча іноді і корисно почати пошук докази з кінця, при його записи необхідно дотримуватися правильний порядок. Окремі тези повинні слідувати один за іншим, щоб доказ було логічним і не викликало сумнівів.
- Для початку розгляньте висунуті припущення.
- Підтвердіть зроблені затвердження простими і очевидними кроками, щоб у читача не виникало сумнівів в їх правильності.
- Іноді доводиться не один раз переписувати доказ. Продовжуйте групувати затвердження та їх докази до тих пір, поки не досягнете найбільш логічного побудови.
- Наприклад: почнемо з початку.
  - Кути A і B є суміжними.
  - Сторони кута ABC утворюють пряму лінію.
  - Кут ABC становить 180 °.
  - Кут A + кут B = кут ABC.
  - Кут A + кут B = кут 180 °.
  - Кут A є додатковим до кута B.
6 Не використовуйте в доказі стрілочки і скорочення. При роботі з чорновим варіантом можна користуватися різними скороченнями і символами, проте не включайте їх в остаточний чистовий варіант, так як це може заплутати читачів. Натомість використовуйте такі слова, як "отже" і "тоді".
- Як виняток допускаються зрозумілі скорочення, наприклад "т. е. " (Тобто), проте використовуйте їх належним чином.
7 Підтверджуйте кожну тезу теоремою, законом або визначенням. Доказ має бути бездоганним. Не можна робити нічим не підкріплених тверджень. Подивіться, як будуються докази завдань, схожих з вашої.
- Спробуйте застосувати знайдене доказ до випадків, коли воно не повинно виконуватися, і подивіться, чи це так. Якщо доказ підходить і для таких випадків, перевірте, де ви припустилися помилки.
- Часто докази геометричних задач записуються у вигляді двох колонок. Справа пишуться затвердження, а зліва наводяться їх докази. У той же час в публікаціях математичні докази оформляються у вигляді абзаців з відповідною граматикою.
8 Завершуйте докази фразою "що й треба було довести". В кінці докази повинен стояти доводить тезу. Після нього слід написати "що й треба було довести" (скорочено "ч. Т. Д." Або символ у вигляді закрашеного квадрата) - це означає, що доказ завершено.
- На латині фразі "що й треба було довести" відповідає абревіатура Q.E.D. (quod erat demonstrandum, Тобто "що і було потрібно показати").
- Якщо ви сумніваєтеся в правильності докази, просто напишіть кілька фраз про те, до якого висновку ви дійшли і чому він важливий.