Зміст

• кроки
• Метод 1 з 3: Як вирішити кубічне рівняння без вільного члена
• Метод 2 з 3: Як знайти цілі коріння за допомогою множників
• Метод 3 з 3: Як вирішити рівняння з допомогою дискримінанту

У кубічному рівнянні найвищим показником ступеня є 3, у такого рівняння 3 кореня (рішення) і воно має вигляд ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$. Деякі кубічні рівняння не так просто вирішити, але якщо застосувати правильний метод (при хорошій теоретичній підготовці), можна знайти коріння навіть самого складного кубічного рівняння - для цього скористайтеся формулою для вирішення квадратного рівняння, знайдіть цілі коріння або обчисліть дискриминант.

кроки

Метод 1 з 3: Як вирішити кубічне рівняння без вільного члена

1. 1 З'ясуйте, чи є в кубічному рівнянні вільний член d{ Displaystyle d}. Кубічне рівняння має вигляд ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$. Щоб рівняння вважалося кубічним, досить, щоб в ньому був присутній лише член ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (Тобто інших членів може взагалі не бути).
   • Якщо в рівнянні є вільний член ${ Displaystyle d}$, Скористайтеся іншим методом.
   • Якщо в рівнянні ${ Displaystyle a = 0}$, Воно не є кубічним.
2. 2 Винесіть за дужки x{ Displaystyle x}. Так як в рівнянні немає вільного члена, кожен член рівняння включає змінну ${ Displaystyle x}$. Це означає, що один ${ Displaystyle x}$ можна винести за дужки, щоб спростити рівняння. Таким чином, рівняння запишеться так: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Наприклад, дано кубічне рівняння ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • винесіть ${ Displaystyle x}$ за дужки і отримаєте ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Розкладіть на множники (на твір двох биномом) квадратне рівняння (якщо можливо). Багато квадратні рівняння виду ${ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ можна розкласти на множники. Таке рівняння вийде, якщо винести ${ Displaystyle x}$ за дужки. У нашому прикладі:
   • Винесіть за дужки ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Розкладіть на множники квадратне рівняння: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Кожен біном прирівняти до ${ Displaystyle 0}$. Корінням цього рівняння є ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Вирішіть квадратне рівняння за допомогою спеціальної формули. Зробіть це, якщо квадратне рівняння можна розкласти на множники. Щоб знайти два кореня рівняння, значення коефіцієнтів ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ підставте в формулу ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • У нашому прикладі підставте значення коефіцієнтів ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) В формулу:

     ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ Displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Перший корінь:

     ${ Displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Другий корінь:

     ${ Displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Використовуйте нуль і коріння квадратного рівняння в якості рішень кубічного рівняння. У квадратних рівнянь два кореня, а у кубічних - три. Два рішення ви вже знайшли - це коріння квадратного рівняння. Якщо ж ви винесли «х» за дужки, третім рішенням буде ${ Displaystyle 0}$.
   • Якщо винести «х» за дужки, вийде ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, Тобто два множники: ${ Displaystyle x}$ і квадратне рівняння в дужках. Якщо будь-який з цих множників дорівнює ${ Displaystyle 0}$, Все рівняння також одно ${ Displaystyle 0}$.
   • Таким чином, два кореня квадратного рівняння, є рішеннями кубічного рівняння. Третім рішенням є ${ Displaystyle x = 0}$.

Метод 2 з 3: Як знайти цілі коріння за допомогою множників

1. 1 Переконайтеся, що в кубічному рівнянні є вільний член d{ Displaystyle d}. Якщо в рівнянні виду ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ є вільний член ${ Displaystyle d}$ (Який не дорівнює нулю), винести «х» за дужки не вийде. В даному випадку скористайтеся методом, викладеним в цьому розділі.
   • Наприклад, дано кубічне рівняння ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$. Щоб на правій стороні рівняння отримати нуль, додайте ${ Displaystyle 6}$ до обох сторін рівняння.
   • вийде рівняння ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$. Так як ${ Displaystyle d = 6}$, Методом, який викладений в першому розділі, скористатися не вийде.
2. 2 Випишіть множники коефіцієнта a{ Displaystyle a} і вільного члена d{ Displaystyle d}. Тобто знайдіть множники числа при ${ Displaystyle x ^ {3}}$ і числа перед знаком рівності. Нагадаємо, що множителями числа є числа, при перемножуванні яких виходить це число.
   • Наприклад, щоб отримати число 6, Потрібно перемножити ${ Displaystyle 6 times 1}$ і ${ Displaystyle 2 times 3}$. Таким чином, числа 1, 2, 3, 6 є множниками числа 6.
   • У нашому рівнянні ${ Displaystyle a = 2}$ і ${ Displaystyle d = 6}$. множниками 2 є 1 і 2. множниками 6 є числа 1, 2, 3 і 6.
3. 3 Розділіть кожен множник a{ Displaystyle a} на кожен множник d{ Displaystyle d}. У підсумку вийде безліч дробів і кілька цілих чисел; корінням кубічного рівняння буде одне з цілих чисел або від'ємне значення одного з цілих чисел.
   • У нашому прикладі розділіть множники ${ Displaystyle a}$ (1 і 2) На множники ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 і 6). Ви отримаєте: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ і ${ Displaystyle { frac {2} {3}}}$. Тепер до цього списку додайте негативні значення отриманих дробів і чисел: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ Displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle { frac {2} {3}}}$ і ${ Displaystyle - { frac {2} {3}}}$. Цілими корінням кубічного рівняння є якісь числа з цього списку.
4. 4 Підставте цілі числа в кубічне рівняння. Якщо при цьому рівність дотримується, підставлену число є коренем рівняння. Наприклад, підставте в рівняння ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ Displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, тобто рівність не дотримується. В даному випадку підставте наступне число.
   • підставте ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Таким чином, ${ Displaystyle -1}$ є цілим коренем рівняння.
5. 5 Скористайтеся методом ділення многочленів по схемою Горнера, Щоб швидше знайти корені рівняння. Зробіть це, якщо не хочете вручну підставляти числа в рівняння. У схемі Горнера цілі числа діляться на значення коефіцієнтів рівняння ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ і ${ Displaystyle d}$. Якщо числа діляться без остачі (тобто залишок дорівнює ${ Displaystyle 0}$), Ціле число є коренем рівняння.
   • Схема Горнера заслуговує окремої статті, але далі наведено приклад обчислення одного з коренів нашого кубічного рівняння за допомогою цієї схеми:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Таким чином, залишок дорівнює ${ Displaystyle 0}$, а ${ Displaystyle -1}$ є одним з коренів рівняння.

Метод 3 з 3: Як вирішити рівняння з допомогою дискримінанту

1. 1 Випишіть значення коефіцієнтів рівняння a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b}, c{ Displaystyle c} і d{ Displaystyle d}. Рекомендуємо заздалегідь виписати значення зазначених коефіцієнтів, щоб в подальшому не заплутатися.
   • Наприклад, дано рівняння ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$. Запишіть ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ Displaystyle c = 3}$ і ${ Displaystyle d = -1}$. Нагадаємо, що якщо перед ${ Displaystyle x}$ немає числа, відповідний коефіцієнт все-таки існує і дорівнює ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Обчисліть нульовий дискримінант за спеціальною формулою. Щоб вирішити кубічне рівняння з допомогою дискримінанту, потрібно провести ряд непростих обчислень, але якщо правильно виконувати всі дії, цей метод стане незамінним для вирішення найбільш складних кубічних рівнянь. спочатку обчисліть ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ (Нульовий дискримінант) - це перша необхідна нам величина; для цього підставте відповідні значення в формулу ${ Displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Дискримінант - це число, яке характеризує корені полінома (наприклад, дискриминант квадратного рівняння обчислюється за формулою ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • У нашому рівнянні:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Обчисліть перший дискриминант за формулою Δ1=2b3−9abc+27a2d{ Displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. перший дискриминант ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ - це друга важлива величина; щоб її обчислити, підставте відповідні значення в зазначену формулу.
   • У нашому рівнянні:

     ${ Displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ Displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Обчисліть:${ Displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$. Тобто знайдіть дискримінант кубічного рівняння через отримані значення ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {1}}$. Якщо дискримінант кубічного рівняння позитивний, у рівняння три кореня; якщо дискримінант дорівнює нулю, у рівняння один або два кореня; якщо ж дискримінант від'ємний, у рівняння один корінь.
   • У кубічного рівняння завжди є хоча б один корінь, так як графік цього рівняння перетинається з віссю X як мінімум в одній точці.
   • У нашому рівнянні ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ рівні ${ Displaystyle 0}$, Тому ви запросто обчисліть ${ Displaystyle Delta}$:

     ${ Displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ Displaystyle 0 = Delta}$. Таким чином у нашого рівняння один або два кореня.

5. 5 Обчисліть:${ Displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } right) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - це остання важлива величина, яку потрібно знайти; з її допомогою ви обчисліть коріння рівняння. У зазначену формулу підставте значення ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {0}}$.
   • У нашому рівнянні:

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle 0 = C}$

6. 6 Знайдіть три кореня рівняння. Зробіть це за формулою ${ Displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, де ${ Displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, а n дорівнює 1, 2 або 3. Підставте в цю формулу відповідні значення - в результаті ви отримаєте три кореня рівняння.
   • Розрахуйте значення за формулою при n = 1, 2 або 3, А потім перевірте відповідь. Якщо при перевірці відповіді ви отримали 0, дане значення є коренем рівняння.
   • У нашому прикладі підставте 1 в ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ і отримаєте 0, тобто 1 - це один з коренів рівняння.