Зміст

• кроки
• Метод 1 з 3: Розкладання рівняння на множники
• Метод 2 з 3: Використання формули коренів квадратного рівняння
• Метод 3 з 3: Доповнення до повного квадрата
• Поради

Квадратним рівнянням називається таке рівняння, в якому найбільше значення ступеня змінної дорівнює 2. Існують три основні способи вирішення квадратних рівнянь: якщо можливо, розкласти квадратне рівняння на множники, використовувати формулу коренів квадратного рівняння або доповнити до повного квадрата. Хочете дізнатися, як же все це робиться? Читайте далі.

кроки

Метод 1 з 3: Розкладання рівняння на множники

1. 1 Складіть все схожі елементи і перенесіть в одну частину рівняння. Це і буде першим кроком, значення ${ Displaystyle x ^ {2}}$ при цьому має залишатися позитивним. Складіть або відніміть все значення ${ Displaystyle x ^ {2}}$, ${ Displaystyle x}$ і постійних, перенісши все в одну частину і залишивши 0 в інший. Ось як це робиться:
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 Розкладіть вираз на множники. Для цього потрібно використовувати значення ${ Displaystyle x ^ {2}}$ (3), постійні значення (-4), вони повинні перемножуємо і утворювати -11. Ось як це зробити:
   • ${ Displaystyle 3x ^ {2}}$ має тільки два можливих множника: ${ Displaystyle 3x}$ і ${ Displaystyle x}$, Так що їх можна записати в дужках: ${ Displaystyle (3x pm?) (X pm?) = 0}$.
   • Далі, підставляючи множники 4, знайдемо комбінацію, при множенні дає -11x. Можна використовувати комбінацію 4 і 1, або 2 і 2, так як і те, і інше дає 4. Пам'ятайте, що значення повинні бути негативні, адже у нас -4.
   • Методом проб і помилок ви отримаєте комбінацію ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$. При множенні отримуємо ${ Displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}$. Поєднавши ${ Displaystyle -12x}$ і ${ Displaystyle x}$, Отримуємо середній член ${ Displaystyle -11x}$, Який ми і шукали. Квадратне рівняння розкладено на множники.
   • Для прикладу спробуємо невідповідну комбінацію: (${ Displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ Displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$. Об'єднавши, отримаємо ${ Displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}$. Хоча множники -2 і 2 при множенні дають -4, середній член не підходить, адже ми хотіли отримати ${ Displaystyle -11x}$, а не ${ Displaystyle -4x}$.
3. 3 Прирівняти кожен вираз в дужках до нуля (як окремі рівняння). Так ми знайдемо два значення ${ Displaystyle x}$, При яких всі рівняння дорівнює нулю, ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Тепер залишається прирівняти до нуля кожне з виразів в дужках. Чому? Справа в тому, що добуток дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Так як ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ дорівнює нулю, то або (3x + 1), або (x - 4) дорівнює нулю. Запишіть ${ Displaystyle 3x + 1 = 0}$ і ${ Displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Вирішіть кожне рівняння окремо. У квадратному рівнянні x має два значення. Вирішіть рівняння і запишіть значення x:
   • Розв'яжіть рівняння 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... шляхом вирахування
     • 3x / 3 = -1/3 ..... шляхом ділення
     • x = -1/3 ..... після спрощення
   • Розв'яжіть рівняння x - 4 = 0
     • x = 4 ..... шляхом вирахування
   • x = (-1/3, 4) ..... можливі значення, тобто x = -1/3 або x = 4.
5. 5 Перевірте x = -1/3, підставивши це значення в (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... шляхом підстановки
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... після спрощення
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... після множення
   • 0 = 0, отже, x = -1/3 - правильна відповідь.
6. 6 Перевірте x = 4, підставивши це значення в (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... шляхом підстановки
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... після спрощення
   • (13) (0) = 0 ..... після множення
   • 0 = 0, отже, x = 4 - правильна відповідь.
   • Таким чином, обидва рішення є вірними.

Метод 2 з 3: Використання формули коренів квадратного рівняння

1. 1 Об'єднайте всі члени і запишіть з одного боку рівняння. збережіть значення ${ Displaystyle x ^ {2}}$ позитивним. Запишіть члени в порядку зменшення ступенів, таким чином член ${ Displaystyle x ^ {2}}$ пишеться першим, далі ${ Displaystyle x}$ і потім постійна:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. Формула має такий вигляд: ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Визначте значення a, b і c в квадратному рівнянні. Мінлива a - коефіцієнт члена x, b - члена x, c - постійна. Для рівняння 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, і c = -8. Запишіть це.
4. 4 Підставте значення a, b і c в рівняння. Знаючи значення трьох змінних, ви можете підставити їх в рівняння таким чином:
   • {-B +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Підрахуйте. Підставивши значення, спростите плюси і мінуси, перемножте або зведіть в квадрат залишилися члени:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Спростіть квадратний корінь. Якщо число під знаком квадратного кореня - квадрат, ви отримаєте ціле число. Якщо немає, спростите його до найбільш простого значення кореня. Якщо число від'ємне, і ви впевнені, що воно повинно бути негативним, То коріння будуть складні. У цьому прикладі √ (121) = 11. Чи можете записати, що x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Знайдіть позитивні і негативні рішення. Якщо ви видалили знак квадратного кореня, то можете продовжувати до тих пір, поки не знайдете позитивні і негативні значення x. Маючи (5 +/- 11) / 6, можна записати:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Знайдете позитивні і негативні значення. Просто порахуйте:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Спростіть. Для цього просто розділіть обидва на найбільший спільний дільник. Першу дріб ділите на 2, другу на 6, x знайдений.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Метод 3 з 3: Доповнення до повного квадрата

1. 1 Перенесіть всі члени на одну сторону рівняння.a або x повинен бути позитивним. Це робиться так:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • У цьому рівнянні a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 перенесіть член c (Постійну) на іншу сторону. Постійна - це член рівняння, що містить тільки числове значення, без змінних.Перенесіть її в праву частину:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Розділіть обидві частини на коефіцієнт a або x. Якщо x не має коефіцієнта, то він дорівнює одиниці і цей крок можна пропустити. У нашому прикладі всі члени ділимо на 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 розділіть b на 2, зведіть в квадрат і додайте до обох сторін. У нашому прикладі b одно -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Спростіть обидві сторони. Зведіть в квадрат члени зліва і вийде (x-3) (x-3), або (x-3). Складіть члени справа і вийде 9/2 + 9, або 9/2 + 18/2, що дорівнює 27/2.
6. 6 Вийміть квадратний корінь з обох частин. Квадратний корінь з (x-3) дорівнює просто (x-3). Квадратний корінь з 27/2 можна записати як ± √ (27/2). Таким чином, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Спростіть подкоренное вираз і знайдіть x. Щоб спростити ± √ (27/2), знайдіть повний квадрат в числах 27 і 2 або їх множниках. У 27 є повний квадрат 9, адже 9 x 3 = 27. Щоб вивести 9 з під знака кореня, вийміть з нього корінь і винесіть 3 з-під знака кореня. Залиште 3 в чисельнику дробу під знаком кореня, так як цей множник витягти не можна, а також залиште 2 знизу. Далі перенесіть постійну 3 з лівої частини рівняння в праву і запишіть два рішення для x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Поради

• Якщо число під знаком кореня не повний квадрат, то останні кілька кроків виконуються трохи інакше. Ось приклад:
• Як бачите, знак кореня не зник. Таким образ члени в чисельнику об'єднати не можна. Тоді немає сенсу розбивати плюс-або-мінус. Замість цього ми ділимо будь-яких загальних множники - але тільки якщо множник загальний для постійної і коефіцієнта кореня.