Зміст

• кроки
• Метод 1 з 2: Точка перетину двох прямих
• Метод 2 з 2: Завдання з квадратичними функціями
• Поради

У двовимірному просторі дві прямі перетинаються тільки в одній точці, що задається координатами (х, y). Так як обидві прямі проходять через точку їх перетину, то координати (х, y) повинні задовольняти обом рівнянням, які описують ці прямі.Скориставшись деякими додатковими навичками, ви зможете знаходити точки перетину парабол і інших квадратичних кривих.

кроки

Метод 1 з 2: Точка перетину двох прямих

1. 1 Запишіть рівняння кожної прямої, відокремити змінну «у» на лівій стороні рівняння. Інші члени рівняння повинні розміщуватися на правій стороні рівняння. Можливо, дане вам рівняння замість «у» буде містити змінну f (x) або g (x); в цьому випадку обособьте таку змінну. Для відокремлення змінної виконайте відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння.
   • Якщо рівняння прямих вам не дано, знайдіть їх на основі відомої вам інформації.
   • приклад. Дано прямі, описувані рівняннями ${ Displaystyle y = x + 3}$ і ${ Displaystyle y-12 = -2x}$. Щоб у другому рівнянні відокремити «у», додайте до обох сторін рівняння число 12: ${ Displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 Прирівняти вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння. Наше завдання - знайти точку перетину обох прямих, тобто точку, координати (х, у) якої задовольняють обом рівнянням. Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна «у», то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти. Запишіть нове рівняння.
   • приклад. Так як ${ Displaystyle y = x + 3}$ і ${ Displaystyle y = 12-2x}$, То можна записати таке рівність: ${ Displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Знайдіть значення змінної «х». Нове рівняння містить лише одну змінну «х». Для знаходження «х» обособьте цю змінну на лівій стороні рівняння, виконавши відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння. Ви повинні отримати рівняння виду х = __ (якщо це неможливо, перейдіть в кінець цього розділу).
   • приклад. ${ Displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • додайте ${ Displaystyle 2x}$ до кожної сторони рівняння:
   • ${ Displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • Відніміть 3 з кожного боку рівняння:
   • ${ Displaystyle 3x = 9}$
   • Розділіть кожну сторону рівняння на 3:
   • ${ Displaystyle x = 3}$.
4. 4 Використовуйте знайдене значення змінної «х» для обчислення значення змінної «у». Для цього підставте знайдене значення «х» в рівняння (будь-яке) прямий.
   • приклад. ${ Displaystyle x = 3}$ і ${ Displaystyle y = x + 3}$
   • ${ Displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ Displaystyle y = 6}$
5. 5 Перевірте відповідь. Для цього підставте значення «х» в інше рівняння прямої і знайдіть значення «у». Якщо ви отримаєте різні значення «у», перевірте правильність ваших обчислень.
   • приклад:${ Displaystyle x = 3}$ і ${ Displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ Displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ Displaystyle y = 12-6}$
   • ${ Displaystyle y = 6}$
   • Ми отримали таке ж значення «у», тому в наших обчисленнях помилок немає.
6. 6 Запишіть координати (х, у). Зрозумівши значення «х» і «у», ви знайшли координати точки перетину двох прямих. Запишіть координати точки перетину у вигляді (х, у).
   • приклад. ${ Displaystyle x = 3}$ і ${ Displaystyle y = 6}$
   • Таким чином, дві прямі перетинаються в точці з координатами (3,6).
7. 7 Обчислення в особливих випадках. У деяких випадках значення змінної «х» знайти не можна. Але це не означає, що ви допустили помилку. Особливий випадок має місце при виконанні одного з наступних умов:
   • Якщо дві прямі паралельні, вони не перетинаються. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а рівняння перетвориться на безглузде рівність (наприклад, ${ Displaystyle 0 = 1}$). В цьому випадку у відповіді запишіть, що прямі не перетинаються або рішення немає.
   • Якщо обидва рівняння описують одну пряму, то точок перетину буде безліч. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а рівняння перетвориться в суворе рівність (наприклад, ${ Displaystyle 3 = 3}$). В цьому випадку у відповіді запишіть, що дві прямі збігаються.

Метод 2 з 2: Завдання з квадратичними функціями

1. 1 Визначення квадратичної функції. У квадратичної функції одна або кілька змінних мають другий ступінь (але не вище), наприклад, ${ Displaystyle x ^ {2}}$ або ${ Displaystyle y ^ {2}}$. Графіками квадратичних функцій є криві, які можуть не перетинатися або перетинатися в одній або двох точках. У цьому розділі ми розповімо вам, як знайти точку або точки перетину квадратичних кривих.
   • Якщо рівняння включає вираз в дужках, розкрийте їх, щоб упевнитися, що функція є квадратичною. Наприклад, функція ${ Displaystyle y = (x + 3) (x)}$ є квадратичною, так як, розкривши дужки, ви отримаєте ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • Функція, що описує коло, включає як ${ Displaystyle x ^ {2}}$, так і ${ Displaystyle y ^ {2}}$. Якщо у вас виникли проблеми при вирішенні завдань з такою функцією, перейдіть в розділ «Поради».
2. 2 Перепишіть кожне рівняння, відокремити змінну «у» на лівій стороні рівняння. Інші члени рівняння повинні розміщуватися на правій стороні рівняння.
   • приклад. Знайдіть точку (точки) перетину графіків ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x-y = -1}$ і ${ Displaystyle y = x + 7}$
   • Обособьте змінну «у» на лівій стороні рівняння:
   • ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ і ${ Displaystyle y = x + 7}$.
   • У цьому прикладі вам дана одна квадратична функція і одна лінійна функція. Пам'ятайте, що якщо вам дано дві квадратичні функції, обчислення аналогічні кроків, викладеним далі.
3. 3 Прирівняти вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння. Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна «у», то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти.
   • приклад. ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ і ${ Displaystyle y = x + 7}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Перенесіть всі члени отриманого рівняння на його ліву сторону, а на правій стороні запишіть 0. Для цього виконайте базові математичні операції. Це дозволить вам вирішити отримане рівняння.
   • приклад. ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Відніміть «x» з обох сторін рівняння:
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Відніміть 7 з обох сторін рівняння:
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Вирішіть квадратне рівняння. Перенісши всі члени рівняння на його ліву сторону, ви отримали квадратне рівняння. Його можна вирішити трьома способами: за допомогою спеціальної формули, доповненням до повного квадрата і розкладанням рівняння на множники.
   • приклад. ${ Displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • При розкладанні рівняння на множники ви отримаєте два двочлена, при перемножуванні яких виходить вихідне рівняння. У нашому прикладі перший член ${ Displaystyle x ^ {2}}$ можна розкласти на х * х. Зробіть такий запис: (x) (x) = 0
   • У нашому прикладі вільний член -6 можна розкласти на такі множники: ${ Displaystyle -6 * 1}$, ${ Displaystyle -3 * 2}$, ${ Displaystyle -2 * 3}$, ${ Displaystyle -1 * 6}$.
   • У нашому прикладі другий член - це х (або 1x). Складіть кожну пару множників вільного члена (в нашому прикладі -6), поки не отримаєте 1. У нашому прикладі підходящої парою множників вільного члена є числа -2 і 3 (${ Displaystyle -2 * 3 = -6}$), так як ${ Displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • Заповніть прогалини знайденої парою чисел: ${ Displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Не забудьте про другу точку перетину двох графіків. У поспіху можна забути про другу точку перетину. Ось як знайти координати «х» двох точок перетину:
   • Приклад (розкладання на множники). Якщо в рівнянні ${ Displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ один з виразів в дужках буде дорівнює 0, то все рівняння дорівнюватиме 0. Тому можна записати так: ${ Displaystyle x-2 = 0}$ → ${ Displaystyle x = 2}$ і ${ Displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ Displaystyle x = -3}$ (Тобто ви знайшли два кореня рівняння).
   • Приклад (використання формули або доповнення до повного квадрата). При використанні одного з цих методів в процесі рішення з'явиться квадратний корінь. Наприклад, рівняння з нашого прикладу набуде вигляду ${ Displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$. Пам'ятайте, що при добуванні квадратного кореня ви отримаєте два рішення. У нашому випадку: ${ Displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, і${ Displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$. Тому запишіть два рівняння і знайдіть два значення «х».
7. 7 Графіки перетинаються в одній точці або взагалі не перетинаються. Такі ситуації мають місце при дотриманні наступних умов:
   • Якщо графіки перетинаються в одній точці, то квадратне рівняння розкладається на однакові множники, наприклад, (х-1) (х-1) = 0, а у формулі з'являється квадратний корінь з 0 (${ Displaystyle { sqrt {0}}}$). У цьому випадку рівняння має тільки одне рішення.
   • Якщо графіки взагалі не перетинаються, то рівняння на множники НЕ розкладається, а у формулі з'являється квадратний корінь з від'ємного числа (наприклад, ${ Displaystyle { sqrt {-2}}}$). В цьому випадку у відповіді напишіть, що рішення немає.
8. 8 Підставте знайдене значення змінної «х» в рівняння (будь-яке) кривої. Так ви знайдете значення змінної «у». Якщо у вас є два значення змінної «х», виконайте описаний процес з обома значеннями «х».
   • приклад. Ви знайшли два значення змінної «х»: ${ Displaystyle x = 2}$ і ${ Displaystyle x = -3}$. Підставте кожне з цих значень в лінійне рівняння ${ Displaystyle y = x + 7}$. Ви отримаєте : ${ Displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ і ${ Displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Запишіть координати точки перетину у вигляді (х, у). Зрозумівши значення «х» і «у», ви знайшли координати точки перетину двох графіків. Якщо ви визначили по два значення «х» і «у», запишіть дві пари координат, які не переплутавши відповідні значення «х» і «у».
   • приклад. При підстановці в рівняння ${ Displaystyle x = 2}$ ви отримаєте ${ Displaystyle y = 9}$, Тобто одна пара координат (2, 9). Проробивши аналогічні обчислення з другим значенням «х», ви отримаєте другу пару координат (-3, 4).

Поради

• Функція, що описує коло, включає як ${ Displaystyle x ^ {2}}$, так і ${ Displaystyle y ^ {2}}$. Для знаходження точки (точок) перетину кола і прямої обчисліть «х», використовуючи лінійне рівняння. Потім підставте знайдене значення «х» в функцію, яка описує коло, і ви отримаєте просте квадратне рівняння, яке може не мати рішення або мати одне або два рішення.
• Коло і крива (квадратична чи інша) можуть не перетинатися або перетинатися в одній, двох, трьох, чотирьох точках. В цьому випадку необхідно знайти значення x (а не «х»), а потім підставити його в другу функцію. Обчисливши «у», ви отримаєте одне або два рішення або взагалі не отримаєте рішень. Тепер підставте знайдене значення «у» в одну з двох функцій і знайдіть значення «х». В цьому випадку ви отримаєте одне або два рішення або взагалі не отримаєте рішень.