Зміст

• кроки
• Частина 1 з 2: Кути в радіанах
• Частина 2 з 2: Координати x-y (косинус, синус)
• Поради

Одиничне коло застосовується не тільки в тригонометрії і геометрії, а й в інших розділах математики. На перший погляд запам'ятати всі особливі точки на ній досить непросто, але якщо ви зрозумієте основний принцип, то зможете легко користуватися одиничної колом.

кроки

Частина 1 з 2: Кути в радіанах

1. 1 Проведіть дві перпендикулярні прямі. Візьміть великий аркуш паперу і лінійку і накресліть вертикальну і горизонтальну лінії. Точка перетину цих прямих повинна лежати приблизно в центрі аркуша. Це будуть осі x і y.
2. 2 Накресліть коло. Візьміть циркуль, поставте його голку в точку перетину прямих і проведіть велику окружність.
3. 3 Ознайомтеся з поняттям радіана. Радіан є одиницею вимірювання кутів. Згідно з визначенням, кут величиною один радіан відсікає на окружності одиничного радіусу дугу одиничної довжини. В даному розділі точки будуть позначатися відповідними значеннями в радіанах. Якщо ви запам'ятаєте співвідношення між довжиною кола та її радіусом, то зможете легко визначати ці значення по одиничному колі, навіть якщо забули їх.
   • При вимірюванні кутів по одиничному колі в якості початкової точки завжди береться точка з координатами (0; 1). Для наочності можна уявити одиничну окружність у вигляді троянди вітрів, тоді точка відліку буде відповідати східному напрямку.
4. 4 Пам'ятайте, що повна довжина одиничному колі становить 2π. Довжина кола дорівнює 2πr, де r - її радіус. Оскільки радіус одиничному колі дорівнює 1, її довжина становить 2π. Звідси можна знайти значення в радіанах для кожної точки окружності: достатньо взяти 2π і поділити на частку окружності, яка відповідає даній точці. Це набагато легше, ніж намагатися вивчити значення в кожній точці на одиничному колі.
5. 5 Відзначте чотири точки на осях x і y. Ці точки розділять коло на чотири квадранта (чверті):
   • "Схід" є точкою відліку, тому йому відповідає 0 радіанів;
   • "Північ" = ¼ окружності = /₄ = /₂ радіанів;
   • "Захід" = половині кола = /₂ = π радіанів;
   • "Південь" = три чверті кола = 2π * ¾ = /₂ радіанів;
   • після обходу всьому колу ми повертаємося в початкову точку, тому поряд з 0 їй можна присвоїти значення 2π.
6. 6 Поділіть коло на вісім частин. Проведіть прямі посередині кожного квадранта, так щоб вони ділили їх навпіл. Для точок перетину прямих з колом отримуємо наступні значення в радіанах:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (Точки π / 2, π, 3π / 2 і 2π вже позначені).
7. 7 Поділіть коло на шість частин. Проведіть додаткові лінії, які розділять коло на шість частин. Можна використовувати для цього транспортир: почніть від позитивного напрямку осі x і відкладайте кути по 60 градусів. За допомогою описаного вище методу легко визначити, що шоста частина окружності становить /₆ = /₃ радіанів. Тепер ми можемо відзначити точки перетину нових прямих з колом (по одній в кожному квадраті):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (Значення π і 2π вже відмічені).
8. 8 Проведіть лінії, які ділять окружність на 12 частин. Залишилося розділити одиничну окружність на 12 рівних частин. З цих точок лише чотири не були зазначені раніше:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Частина 2 з 2: Координати x-y (косинус, синус)

1. 1 Ознайомтеся з поняттями синуса і косинуса. Одиничне коло прекрасно підходить для роботи з прямокутними трикутниками. координати x лежать на окружності точок рівні cos (θ), а координати y відповідають sin (θ), де θ - величина кута.
   • Якщо вам складно запам'ятати це правило, просто пам'ятайте, що в парі (cos; sin) "синус стоїть на останньому місці".
   • Це правило можна вивести, якщо розглянути прямокутні трикутники і визначення даних тригонометричних функцій (синус кута дорівнює відношенню довжини протилежного, а косинус - прилеглого катета до гіпотенузи).
2. 2 Запишіть координати чотирьох точок на окружності. "Єдина окружність" - це така коло, радіус якої дорівнює одиниці. Використовуйте це, щоб визначити координати x і y в чотирьох точках перетину координатних осей з колом. Вище ми позначили ці точки для наочності "сходом", "північчю", "заходом" і "півднем", хоча вони не мають усталених назв.
   • "Схід" відповідає точці з координатами (1; 0).
   • "Північ" відповідає точці з координатами (0; 1).
   • "Захід" відповідає точці з координатами (-1; 0).
   • "Південь" відповідає точці з координатами (0; -1).
   • Це аналогічно звичайним графіком, тому немає необхідності запам'ятовувати ці значення, досить пам'ятати основний принцип.
3. 3 Запам'ятайте координати точок в першому квадраті. Перший квадрант розташований у верхній правій частині кола, де координати x і y приймають позитивні значення. Це єдині координати, які необхідно запам'ятати:
   • крапка /₆ має координати (${ Displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • крапка /₄ має координати (${ Displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • крапка /₃ має координати (${ Displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • зверніть увагу, що чисельник приймає лише три значення. Якщо переміщатися в позитивному напрямку (зліва направо по осі x і від низу до верху по осі y), Чисельник приймає значення 1 → √2 → √3.
4. 4 Проведіть прямі лінії і визначте координати точок їх перетину з колом. Якщо ви проведете від точок одного квадранта прямі горизонтальні і вертикальні лінії, другі точки перетину цих ліній з колом матимуть координати x і y з тими ж абсолютними значеннями, але іншими знаками. Іншими словами, можна провести горизонтальні і вертикальні лінії від точок першого квадранта і підписати точки перетину з колом тими ж координатами, але при цьому залишити зліва місце для правильного знака ( "+" або "-").
   • Наприклад, можна провести горизонтальну лінію між точками /₃ і /₃. Оскільки перша точка має координати (${ Displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), Координати другої точки будуть (?${ Displaystyle { frac {1} {2}},? { Frac { sqrt {3}} {2}}}$), Де замість знака "+" або "-" поставлений знак питання.
   • Використовуйте найбільш простий спосіб: зверніть увагу на знаменники координат точки в радіанах. Всі точки зі знаменником 3 мають однакові абсолютні значення координат. Те ж саме відноситься до точок із знаменниками 4 і 6.
5. 5 Для визначення знака координат використовуйте правила симетрії. Існує кілька способів визначити, де слід поставити знак "-":
   • згадайте основні правила для звичайних графіків. ось x негативна зліва і позитивна справа. ось y негативна знизу і позитивна зверху;
   • почніть з першого квадранта і проведіть лінії до інших точок. Якщо лінія перетне вісь y, координата x змінить свій знак. Якщо лінія перетне вісь x, Зміниться знак у координати y;
   • запам'ятайте, що в першому квадраті позитивні всі функції, у другому квадраті позитивний тільки синус, в третьому квадранті позитивний лише тангенс, і в четвертому квадранті позитивний тільки косинус;
   • який би метод ви не використовували, в першому квадраті повинно вийти (+, +), у другому (-, +), в третьому (-, -) і в четвертому (+, -).
6. 6 Перевірте, чи не помилилися ви. Нижче наведено повний список координат "особливих" точок (крім чотирьох точок на координатних осях), якщо рухатися по одиничному колі проти годинникової стрілки. Пам'ятайте, що для визначення всіх цих значень досить запам'ятати координати точок лише в першому квадраті:
   • перший квадрант: (${ Displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ Displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ Displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • другий квадрант: (${ Displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ Displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ Displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • третій квадрант: (${ Displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ Displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ Displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • четвертий квадрант: (${ Displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ Displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ Displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Поради

• Якщо вам необхідно використовувати одиничну окружність під час контрольної роботи або іспиту, намалюйте її на чернетці.
• Після деякої практики ви зможете швидко будувати одиничну окружність. Згодом ви зможете малювати лише осі x і y або зовсім обходитися без діаграми.