Зміст

• Крок
• Спосіб 1 з 2: Довжина сторін прямокутного трикутника
• Метод 2 з 2: Обчисліть відстань між двома точками на площині
• Поради

Теорема Піфагора описує довжину сторін прямокутного трикутника настільки витонченим і практичним способом, що все ще широко використовується. Це говорить, що для будь-якого прямокутного трикутника сума квадратів прямих сторін дорівнює квадрату гіпотенузи. Іншими словами, для прямокутного трикутника (трикутник зі сторонами, перпендикулярними одна до одної), зі сторонами довжини a і b та гіпотенузою довжини c: a + b = c. Теорема Піфагора є одним із стовпів геометрії і має численні практичні додатки - використовуючи цю теорему, наприклад, дуже легко знайти відстань між двома точками на плоскій площині.

Крок

Спосіб 1 з 2: Довжина сторін прямокутного трикутника

1. Перевірте, чи маєте справу з прямокутним трикутником. Теорему Піфагора можна використовувати лише з прямокутними трикутниками, тому перед продовженням важливо переконатися, що ваш трикутник відповідає визначенню прямокутного трикутника. На щастя, є лише один фактор, який є вирішальним у цьому плані - один із кутів трикутника повинен бути кутом 90 градусів.
   • Як підказка, прямі кути часто позначають маленькою квадратною дужкою, щоб вказати, що це кут 90 градусів. Перевірте, чи є така дужка в одному з кутів вашого трикутника.
2. Призначте змінні a, b та c сторонам вашого трикутника. У теоремі Піфагора змінні a і b відносяться до правої сторони вашого трикутника, а змінна c до гіпотенузи - довгої сторони, протилежної прямому куту. Отже, для початку ви призначаєте змінні a і b (порядок не має значення) прямим сторонам, а c - гіпотенузі.
3. Визначте, яку сторону трикутника ви хочете знати. Теорема Піфагора дозволяє знайти довжину кожної сторони трикутника за умови, що відомі дві сторони. Визначте, яка зі сторін має невідому довжину - a, b, та / або c. Якщо невідомий лише один, ви можете продовжити.
   • Припустимо, ми знаємо, що гіпотенуза має довжину 5, а одна з інших сторін довжину 3. Довжина решти сторін невідома. Оскільки дві сторони відомі, ми можемо приступити до обчислення довжини невідомої сторони! Цей приклад ми знову використаємо пізніше.
   • Якщо довжина два сторін невідомі, ви повинні визначити довжину принаймні ще однієї сторони, щоб мати можливість використовувати теорему Піфагора. Основні тригонометричні функції можуть допомогти вам у цьому, за умови, що ви знаєте один з інших, непрямих кутів трикутника.
4. Обчисліть за допомогою рівняння та людей, яких ви знаєте. Введіть значення довжини сторін вашого трикутника у рівняння a + b = c. Пам’ятайте, що a і b - прямі сторони, а c - гіпотенуза.
   • У нашому прикладі ми знаємо довжину однієї сторони та довжини гіпотенузи (3 і 5), тому пишемо наше рівняння так: 3² + b² = 5²
5. Обчисліть квадрати. Щоб вирішити своє рівняння, почніть з квадратування кожної з відомих сторін. Якщо вам це легше, ви можете залишити потужність і лише квадратувати її пізніше.
   • У нашому прикладі ми ставимо в квадрат 3 і 5, щоб отримати відн. 9 і 25 отримати. Тепер ми можемо переписати рівняння як 9 + b² = 25.
6. Виділіть невідому змінну з одного боку від знака рівності. Якщо потрібно, використовуйте стандартні алгебраїчні операції, щоб перенести невідоме в одну сторону знака рівності, а квадрати - в іншу. Якщо ви намагаєтесь знайти гіпотенузу, тоді c у теоремі вже з одного боку, тому ви можете пропустити цей крок.
   • У нашому прикладі рівняння тепер 9 + b² = 25. Щоб виділити b & sup2, віднімемо 9 з обох сторін рівняння. Це залишає b² = 16.
7. Візьмемо квадратний корінь з обох сторін рівняння. Тепер у вас повинен бути квадрат (змінна) з одного боку рівняння, а число - з іншого. Тепер витягніть квадратний корінь з обох сторін, щоб знайти довжину невідомого.
   • У нашому прикладі b² = 16, рівняння після квадратного вкорінення дорівнює b = 4. Тож можна сказати, що довжина невідомої сторони нашого трикутника дорівнює 4.
8. Використовуйте теорему Піфагора на практиці. Причина, через яку так часто використовується теорема Піфагора, полягає в тому, що вона застосовна для вирішення багатьох практичних задач. Навчіться розпізнавати прямокутні трикутники у навколишньому світі - скрізь, де ви можете розпізнати прямокутний трикутник на одному або кількох об’єктах, теорема Піфагора застосовна для знаходження довжини однієї зі сторін за умови, що є дві сторони чи кути. Бути відомими.
   • Візьмемо приклад із реального світу. Сходи притуляється до стіни. Дно драбини знаходиться на відстані 5 метрів від стіни. Сходи сягає 20 метрів від дна стіни. Скільки довжина сходів?
     • "5 метрів - це відстань до стіни" і "висота сходів 20 метрів". Це вказує на довжину сторін трикутника. Оскільки ми можемо припустити, що стіна і земля утворюють прямий кут, а сходи знаходиться по діагоналі до стіни під кутом, ми можемо розглядати це розташування як прямокутний трикутник, сторони якого мають довжину a = 5 і b = 20. Довжина сходів - гіпотенуза, невідома змінна c. Застосуємо теорему Піфагора:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. Довжина сходів (приблизна) 20,6 метрів.

Метод 2 з 2: Обчисліть відстань між двома точками на площині

1. Визначте дві точки в площині. Теорему Піфагора можна дуже легко використовувати для знаходження прямолінійної відстані між двома точками на площині. Все, що вам потрібно, це координати x та y будь-яких двох точок. Зазвичай ці координати записуються як (x, y).
   • Щоб знайти відстань між цими двома точками, ми розглянемо кожну з точок як одну з вершин прямокутного трикутника, який не належить прямому куту. Це дозволяє дуже легко знайти довжину a та b, після чого можна обчислити c (гіпотенузу та відстань між двома точками).
2. Накресліть дві точки на графіку. У площині X-Y для кожної точки (x, y) x є точкою на горизонтальній осі x, а y - точкою на вертикальній осі y. Ви можете знайти відстань між ними, не будуючи їх графічно, але це дасть вам візуальну довідку, за допомогою якої ви зможете перевірити, чи має сенс ваша відповідь.
3. Визначте довжину прямих сторін вашого трикутника. Розглядаючи ваші дві точки як кути трикутника, суміжного з гіпотенузою, ви можете знайти довжину сторін a і b. Це можна зробити за допомогою графіку або за допомогою формул | x₁ - х₂| для горизонтальної сторони та | у₁ - y₂| для вертикальної сторони, де (x₁, y₁) - перша точка і (x₂, y₂) другий пункт.
   • Нехай у нас є точки (6,1) та (3,5). Довжина горизонтальної сторони нашого трикутника:
     • | х₁ - х₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Довжина вертикальної сторони:
     • | р₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Тож можна сказати, що довжина сторін нашого прямокутного трикутника дорівнює a = 3 і b = 4.
4. За допомогою теореми Піфагора знайдіть гіпотенузу. Відстань між двома точками - це довжина гіпотенузи трикутника. За допомогою теореми Піфагора знайдіть гіпотенузу трикутника зі сторонами a, b і c.
   • У нашому прикладі ми знаємо точки (3,5) та (6,1), а довжини сторін дорівнюють a = 3 та b = 4, тому визначаємо гіпотенузу наступним чином:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. Відстань між (3,5) і (6,1) дорівнює 5.

Поради

• Якщо трикутник не є прямокутним, то ви не можете просто використовувати теорему Піфагора.
• Гіпотенуза завжди:
  • лінія, протилежна прямому куту
  • найдовша сторона прямокутного трикутника
  • змінна c в теоремі Піфагора
• sqrt (x) означає "квадратний корінь з x".
• Не забувайте завжди перевіряти відповіді. Якщо відповідь виявляється неправильною, перевірте свої розрахунки або починайте спочатку.
• Якщо ви знаєте лише одну сторону трикутника, але також один з інших кутів (потім прямий кут), спочатку обчисліть іншу сторону з тим, що ви знаєте про тригонометрію (sin, cos, tan) або пропорціями 30-60- 90 / 45-45-90.
• Ще одна перевірка - найдовша сторона протилежна найбільшому куту, а найкоротша - проти найменшого кута.