Автор:
William Ramirez
Дата Створення:
16 Вересень 2021
Дата Оновлення:
1 Липня 2024
Зміст
Всі прямокутні трикутники мають один прямий кут (90 градусів), а протилежна йому сторона називається гіпотенузою. Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, і знайти її можна різними способами. У цій статті ми розповімо вам, як знайти гіпотенузу по теоремі Піфагора (коли відомі довжини двох інших сторін трикутника), по теоремі синусів (коли відомі довжина катета і кут) і в деяких окремих випадках (часто такі завдання зустрічаються на контрольних і тестах).
кроки
Метод 1 з 3: Теорема Піфагора
1 Теорема Піфагора пов'язує всі сторони прямокутного трикутника. Відповідно до даної теоремі, в будь-якому прямокутному трикутнику з катетами «а» і «b» і гіпотенузою «с»: a + b = c. 
2 Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора може бути застосована тільки до прямокутним трикутниках. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам. - Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата.
3 Позначте боку трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута). Потім підставте дані вам значення в формулу. - Наприклад, катети трикутника дорівнюють 3 і 4. У цьому випадку а = 3, b = 4, а формула виглядає так: 3 + 4 = c.
4 Зведіть в квадрат значення катетів ( «a» і «b»). Для цього просто помножте число саме на себе: - Якщо a = 3, то a = 3 x 3 = 9. Якщо b = 4, то b = 4 x 4 = 16.
- Підставте ці значення в формулу: 9 + 16 = з.
5 Складіть знайдені квадрати катетів (a і b), щоб обчислити квадрат значення гіпотенузи (с).- У нашому прикладі 9 + 16 = 25, тому з = 25.
6 Знайдіть квадратний корінь з. Використовуйте калькулятор, щоб витягти квадратний корінь з знайденого значення. Так ви обчисліть гіпотенузу трикутника. - У нашому прикладі з = 25. Квадратний корінь з 25 дорівнює 5 (так як 5 х 5 = 25, тому √25 = 5). Це означає, що гіпотенуза з = 5.
Метод 2 з 3: Окремі випадки
1 Визначення Піфагора трійки. Числа Піфагора - це три числа (довжини трьох сторін), які задовольняють теоремі Піфагора. Дуже часто трикутники з такими сторонами наводяться в підручниках і на тестах. Якщо ви запам'ятаєте перші кілька піфагорових трійок, ви заощадите багато часу на тестах або іспитах, тому що зможете обчислити гіпотенузу, просто глянувши на довжини катетів. - Перша Числа Піфагора: 3-4-5 (3 + 4 = 5, 9 + 16 = 25). Якщо дано трикутник з катетами 3 і 4, то ви можете з упевненістю заявити, що гіпотенуза дорівнює 5 (без необхідності робити будь-які розрахунки).
- Піфагорові трійки працюють навіть в тому випадку, коли числа помножені або розділені на один коефіцієнт. Наприклад, якщо катети рівні 6 і 8, Гіпотенуза дорівнює 10 (6 + 8 = 10, 36 + 64 = 100). Те ж саме вірно для 9-12-15 і навіть для 1,5-2-2,5.
- Друга Числа Піфагора: 5-12-13 (5 + 12 = 13, 25 + 144 = 169). Також до цієї трійці відносяться, наприклад, числа 10-24-26 і 2,5-6-6,5.
2 Рівнобедрений прямокутний трикутник. Це такий трикутник, кути якого рівні 45,45 і 90 градусам. Співвідношення між сторонами цього трикутника одно 1:1:√2. Це означає, що гіпотенуза в такому трикутнику дорівнює добутку катета і квадратного кореня з 2. - Щоб обчислити гіпотенузу такого трикутника, просто помножте довжину будь-якого катета на √2.
- Це співвідношення особливо зручно, коли в задачах замість числових значень даються змінні.
3 Половина рівностороннього прямокутного трикутника. Це такий трикутник, кути якого рівні 30,60 і 90 градусам.Співвідношення між сторонами цього трикутника одно 1:√3:2 або х: х√3: 2х. Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику виконайте одну з таких дій: - Якщо вам дано короткий катет (протилежні кутку в 30 градусів), просто помножте довжину цього катета на 2, щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює 4, То гіпотенуза дорівнює 8.
- Якщо вам дано довгий катет (протилежні кутку в 60 градусів), просто помножте довжину цього катета на 2/√3, Щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює 4, То гіпотенуза дорівнює 4,62.
Метод 3 з 3: Теорема синусів
1 Зрозумійте, що означає «синус». Синус, косинус і тангенс кута - це основні тригонометричні функції, що зв'язують кути і сторони в прямокутному трикутнику. Синус кута дорівнює відношенню противолежащей боку до гіпотенузи. Позначається синус як sin. 
2 Навчіться обчислювати синус. Щоб обчислити синус, на калькуляторі знайдіть клавішу sin, Натисніть її, а потім введіть значення кута. У деяких калькуляторах спочатку потрібно натиснути клавішу переходу до роботи з функціями, а потім натиснути клавішу sin. Тому поекспериментуйте з калькулятором або перевірте його документацію. - Щоб знайти синус кута в 80 градусів, натисніть «sin», «8», «0», «=» або натисніть «8», «0», «sin», «=» (відповідь: -0,9939).
- Ви також можете знайти онлайн-калькулятор, ввівши в пошуковій системі «обчислення синуса» (без лапок).
3 Запам'ятайте теорему синусів. Теорема синусів є корисним інструментом для обчислення кутів і сторін будь-якого трикутника. Зокрема, вона допоможе вам знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо вам дано катет і кут, відмінний від прямого. Згідно з теоремою синусів, в будь-якому трикутнику зі сторонами a, b, c і кутами A, B, C вірно рівність a / sin A = b / sin B = c / sin З.- Теорема синусів застосовується до будь-яких трикутниках, а не тільки до прямокутним (але тільки в прямокутному трикутнику є гіпотенуза).
4 Позначте боку трикутника через «а» (відомий катет), «b» (невідомий катет), «с» (гіпотенуза). Потім позначте кути трикутника через «А» (навпроти катета «а»), «В» (навпроти катета «b»), «С» (навпроти гіпотенузи). 
5 Знайдіть третій кут. Якщо вам дано один з гострих кутів прямокутного трикутника (А або В), А другий кут завжди дорівнює 90 градусам (С = 90), То третій кут обчислюється за формулою 180 - (90 + А) = B (Пам'ятаєте, що сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 градусам). При необхідності рівняння можна змінити і так: 180 - (90 + B) = A. - Наприклад, якщо кут A = 40 градусам, то B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 градусів.
6 На даному етапі вам відомі значення всіх трьох кутів і довжина катета «а». Тепер ви можете підставити ці значення в формулу теореми синусів, щоб знайти дві інші сторони. - У нашому прикладі припустимо, що катет а = 10, а кути рівні C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
7 Підставте дані і знайдені значення в теорему синусів, щоб знайти гіпотенузу:катет «а» / синус кута «A» = гіпотенуза «с» / синус кута «С». При цьому sin 90˚ = 1. Таким чином, рівняння спрощується до: а / sinA = с / 1 або з = а / sinA. 
8 Розділіть довжину катета «а» на синус кута «А», щоб знайти довжину гіпотенузи. Для цього спочатку знайдіть синус кута, а потім виконайте розподіл. Або ви можете скористатися калькулятором, ввівши 10 / (sin40) або 10 / (40sin) (Не забудьте про дужки). - У нашому прикладі sin 40 = 0,64278761, а з = 10/0,64278761 = 15,6.
