Зміст

• попередні відомості
• кроки
• Частина 1 з 3: Основи
• Частина 2 з 3: Властивості перетворення Лапласа
• Частина 3 з 3: Знаходження перетворення Лапласа шляхом розкладання в ряд

Перетворення Лапласа є інтегральне перетворення, яке використовують для вирішення диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Це перетворення широко використовується у фізиці та інженерній справі.

Хоча можна використовувати відповідні таблиці, корисно розуміти перетворення Лапласа, щоб при необхідності ви могли провести його самостійно.

попередні відомості

• Нехай дана функція ${ Displaystyle f (t)}$, Певна для ${ Displaystyle t geq 0.}$ тоді перетворенням Лапласа функції ${ Displaystyle f (t)}$ є наступна функція кожного значення ${ Displaystyle s}$, При якому інтеграл сходиться:
  • ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Перетворення Лапласа переводить функцію з t-області (на шкалі часу) в s-область (область перетворення), де ${ Displaystyle F (s)}$ являє собою комплексну функцію комплексної змінної. Воно дозволяє перевести функцію в ту область, де можна легше знайти рішення.
• Очевидно, що перетворення Лапласа є лінійним оператором, тому якщо ми маємо справу з сумою доданків, кожен інтеграл можна обчислити окремо.
  • ${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Пам'ятайте, що перетворення Лапласа працює лише в тих випадках, якщо інтеграл сходиться. якщо функція ${ Displaystyle f (t)}$ має розриви, необхідно бути уважним і правильно розставити межі інтегрування, щоб уникнути невизначеності.

кроки

Частина 1 з 3: Основи

1. 1 Підставте функцію в формулу перетворення Лапласа. Теоретично перетворення Лапласа функції обчислюється дуже просто. Розглянемо як приклад функцію ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, де ${ Displaystyle a}$ - комплексна константа з ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Оцініть інтеграл за допомогою доступних методів. У нашому прикладі оцінка дуже проста і можна обійтися простими обчисленнями. У більш складних випадках можуть знадобитися більш складні методи, наприклад інтегрування по частинах або диференціювання під знаком інтеграла. обмежує умова ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ означає, що інтеграл сходиться, тобто його значення прагне до 0 при ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligned}}}$
   • Врахуйте, що це дає нам два види перетворення Лапласа, з синусом і косинусом, так як згідно з формулою Ейлера ${ Displaystyle e ^ {iat}}$. В цьому випадку в знаменнику ми отримаємо ${ Displaystyle s-ia,}$ і залишається лише визначити дійсну і уявну частину. Можна також оцінити результат безпосередньо, але це зайняло б трохи більше часу.
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Розглянемо перетворення Лапласа статечної функції. Для початку слід визначити перетворення статечної функції, оскільки властивість лінійності дозволяє знайти перетворення для всіх поліномів. Статечної є функція виду ${ Displaystyle t ^ {n},}$ де ${ Displaystyle n}$ - будь-яке позитивне ціле число. Можна проінтегрувати по частинах, щоб визначити рекурсивне правило.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Даний результат виражений в неявній формі, але якщо підставити кілька значень ${ Displaystyle n,}$ можна встановити певну закономірність (спробуйте зробити це самостійно), яка дозволяє отримати наступний результат:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {S ^ {n + 1}}}}$
   • Можна також визначити перетворення Лапласа дрібних ступенів за допомогою гамма-функції. Наприклад, таким способом можна знайти перетворення такої функції, як ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Хоча функції з дробовими ступенями повинні мати розрізи (як ви пам'ятаєте, будь-які комплексні числа ${ Displaystyle z}$ і ${ Displaystyle alpha}$ можна записати у вигляді ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, оскільки ${ Displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), Їх завжди можна визначити таким чином, щоб розрізи лежали в лівій півплощині, і тим самим уникнути проблем з аналітичність.

Частина 2 з 3: Властивості перетворення Лапласа

1. 1 Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на eat{ Displaystyle e ^ {at}}. Отримані в попередньому розділі результати дозволили нам з'ясувати деякі цікаві властивості перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа таких функцій, як косинус, синус і експоненціальна функція, здається більш простим, ніж перетворення статечної функції. множення на ${ Displaystyle e ^ {at}}$ в t-області відповідає зрушенню в s-області:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Це властивість відразу ж дозволяє знайти перетворення таких функцій, як ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, Без необхідності обчислювати інтеграл:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на tn{ Displaystyle t ^ {n}}. Спочатку розглянемо множення на ${ Displaystyle t}$. Згідно з визначенням, можна продифференцировать функцію під інтегралом і отримати дивно простий результат:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Повторюючи цю операцію, отримуємо остаточний результат:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Хоча перестановка операторів інтегрування і диференціювання вимагає деякого додаткового обґрунтування, ми не будемо наводити його тут, а лише зазначимо, що дана операція коректна в тому випадку, якщо остаточний результат має сенс. Можна також взяти до уваги той факт, що змінні ${ Displaystyle s}$ і ${ Displaystyle t}$ не залежать одне від одного.
   • За допомогою даного правила легко знайти перетворення таких функцій, як ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, Без повторного інтегрування частинами:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Знайдемо перетворення Лапласа функції f(at){ Displaystyle f (at)}. Це можна легко зробити за допомогою заміни змінної на u, використовуючи визначення перетворення:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • Вище ми знайшли перетворення Лапласа функцій ${ Displaystyle sin at}$ і ${ Displaystyle cos at}$ безпосередньо з експоненційної функції. За допомогою цієї властивості можна отримати той же результат, якщо знайти дійсну і уявну частини ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Знайдемо перетворення Лапласа похідної f′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. На відміну від попередніх прикладів, в даному випадку доведеться інтегрувати частинами:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Оскільки друга похідна зустрічається у багатьох фізичних задачах, знайдемо перетворення Лапласа і для неї:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • У загальному випадку перетворення Лапласа похідної n-го порядку визначається наступним чином (це дозволяє вирішити диференціальні рівняння з допомогою перетворення Лапласа):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Частина 3 з 3: Знаходження перетворення Лапласа шляхом розкладання в ряд

1. 1 Знайдемо перетворення Лапласа для періодичної функції. Періодична функція задовольняє умові ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ де ${ Displaystyle T}$ - період функції, а ${ Displaystyle n}$ - позитивне ціле число. Періодичні функції широко використовуються в багатьох сферах, в тому числі для обробки сигналів і в електротехніці. За допомогою простих перетворень отримуємо наступний результат:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { aligned}}}$
   • Як видно, в разі періодичної функції досить виконати перетворення Лапласа для одного періоду.
2. 2 Виконайте перетворення Лапласа для натурального логарифма. У цьому випадку інтеграл можна виразити у вигляді елементарних функцій. Використання гамма-функції і її розкладання в ряд дозволяє оцінити натуральний логарифм і його ступеня. Наявність постійної Ейлера-Маськероні ${ Displaystyle gamma}$ показує, що для оцінки даного інтеграла необхідно використовувати розкладання в ряд.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Розглянемо перетворення Лапласа ненормованої функції sinc. функція ${ Displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ широко використовується для обробки сигналів, в диференціальних рівняннях вона еквівалентна сферичної функції Бесселя першого роду і нульового порядку ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Перетворення Лапласа цієї функції також неможливо обчислити стандартними методами. В даному випадку проводять перетворення окремих членів ряду, які представляють собою статечні функції, тому їх перетворення обов'язково сходяться на заданому інтервалі.
   • Спочатку запишемо розкладання функції в ряд Тейлора:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Тепер використовуємо вже відоме нам перетворення Лапласа статечної функції. Факторіали скорочуються, і в результаті отримуємо розкладання Тейлора для арктангенса, тобто знакозмінний ряд, який нагадує ряд Тейлора для синуса, але без факториалов:
     • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$