Формулювання математичних доказів

Відеоролик: Формування компетентностей на уроках природничо-математичного циклу

Зміст

Крок
Метод 1 з 3: Розуміння проблеми
Метод 2 з 3: Структурування доказу
Метод 3 з 3: Формулювання доказів
Поради

Математичні докази можуть бути складними, але, маючи правильні попередні знання як з математики, так і зі структурою доказу, ви, безумовно, можете їх сформулювати успішно. На жаль, не існує швидкого та простого способу навчитися будувати докази. Вам потрібна міцна основа у ваших предметних знаннях, щоб придумати правильні тези та визначення для логічного розвитку ваших доказів. Читаючи приклади та вправляючись у собі, ви зможете оволодіти навичками математичної перевірки.

Крок

Метод 1 з 3: Розуміння проблеми

Зрозумійте питання. Спочатку потрібно точно визначити, що саме ви намагаєтеся довести. Це питання також послужить завершальною тезою доказів. На цьому кроці ви також визначите припущення, з якими будете працювати. Визначення питання та вироблення необхідних припущень дають вам вихідну точку для розуміння проблеми та розвитку доказів.
Накресліть схеми. Намагаючись зрозуміти внутрішню роботу математичної задачі, іноді найпростіше скласти схему того, що відбувається. Діаграми особливо важливі для геометричних доказів, оскільки вони дозволяють уявити, що ви насправді хочете довести.
- Використовуйте інформацію, наведену в задачі, щоб намалювати картину доказів. Назвіть знайомих та незнайомих людей.
- Під час опрацювання доказів використовуйте необхідну інформацію для підтвердження доказів.
Вивчіть докази суміжних теорем. Доказів важко навчитися будувати, але чудовий спосіб дізнатися це - вивчити відповідні твердження та те, як вони були доведені.
- Усвідомте, що доказ - це лише вагомий аргумент, де кожен крок обґрунтований. Ви можете знайти багато доказів для вивчення, як в Інтернеті, так і в підручнику.
Задавати питання. Цілком нормально застрягти в доказі. Запитайте свого вчителя або однокласників, чи не можете ви це зрозуміти. Останні можуть мати подібні запитання, і ви можете спільно працювати над ними. Краще задавати питання, а потім розуміти, ніж сліпо перебирати докази.
- Порадьтеся з учителем після уроку для отримання додаткових пояснень.

Метод 2 з 3: Структурування доказу

Визначте математичні докази. Математичний доказ - це сукупність логічних тверджень, підкріплених теоремами та визначеннями, що доводять правильність іншого математичного твердження. Докази - це єдиний спосіб дізнатись, чи є твердження математично правильним.
- Можливість сформулювати математичний доказ вказує на фундаментальне розуміння самої проблеми та всіх понять, що беруть участь у проблемі.
- Докази також змушують поглянути на математику по-новому і захоплююче. Просто намагаючись щось довести, ви отримаєте більше знань і розуміння про це, навіть якщо ваші докази зрештою здаються неправильними.
Знай свою аудиторію. Перш ніж написати доказ, вам слід подумати про аудиторію, для якої ви його пишете, і про те, що вони вже знають. Якщо ви напишете доказ для публікації, ви зробите це інакше, ніж для класу середньої школи.
- Знання своєї аудиторії дозволяє сформулювати докази таким чином, щоб вона зрозуміла, враховуючи обсяг попередніх знань, якими володіє аудиторія.
Зрозумійте тип доказів, які ви висуваєте. Існує кілька різних типів доказів, і той, який ви оберете, залежить від вашої цільової аудиторії та призначення. Якщо ви не впевнені, яку версію використовувати, зверніться за порадою до свого вчителя. У старшій школі від вас можуть очікувати, що ви сформулюєте докази у певному форматі, наприклад, офіційне підтвердження у дві колонки.
- Доказ у два стовпці - це структура, де дані та твердження розміщуються в одній колонці, а підтверджуючі докази поруч із нею - у другій колонці. Вони дуже часто використовуються в геометрії.
- У неофіційному доведенні абзаців використовуються граматично правильні твердження та менше символів. На вищому рівні ви завжди повинні використовувати неофіційні докази.
Напишіть доказ у дві колонки як огляд. Структурування доказу у дві колонки - це простий спосіб упорядкувати свої думки та розглянути проблему. Проведіть лінію в центрі сторінки та запишіть усі дані та твердження зліва. Напишіть відповідні визначення / твердження праворуч, поруч із даними, які вони підтримують.
- Наприклад:
- Кут А і кут В утворюють лінійну пару. Дано.
- Кут ABC прямий. Визначення прямого кута.
- Кут ABC дорівнює 180 °. Визначення рядка.
- Кут A + кут B = кут ABC. Постулат для додавання кутів.
- Кут A + кут B = 180 °. Заміна.
- Кут А як доповнення до кута В. Визначення додаткових кутів.
- Q.E.D.
Перетворіть доказ у дві колонки на неформальний доказ. На основі доказу у двох колонках напишіть неофіційний доказ у вигляді абзацу без надто великої кількості символів та скорочень.
- Наприклад, припустимо, що кути А і В є лінійними парами. Гіпотеза полягає в тому, що кут А і кут В доповнюють один одного (є додатковими). Кут А і кут В утворюють пряму лінію, оскільки вони є лінійними парами. Пряма лінія визначається як кут 180 °. Враховуючи постулат про додавання кутів, кути А і В разом утворюють пряму ABC. Шляхом заміщення, А і В разом дорівнюють 180 °, отже вони є додатковими кутами. Q.E.D.

Метод 3 з 3: Формулювання доказів

Вивчіть словниковий запас математичного доказування. Є певні твердження та речення, які ви постійно бачите в математичному доказі. Це фрази, з якими ви повинні бути знайомими та мати можливість їх добре використовувати при формулюванні власних доказів.
- "Якщо A, то B" означає, що ви повинні показати, що якщо A є істинним, B також повинен бути істинним.
- "А тоді і тільки тоді, коли B" означає, що ви повинні довести, що A і B є істинними та хибними одночасно. Доведіть і "Якщо A, то B" і "якщо не A, то не B".
- "A лише якщо B" означає те саме, що "Якщо A, то B", тому воно не часто використовується. Добре знати про це, коли натрапляєш на це.
- Створюючи докази, слід уникати використання "Я" на користь "ми".
Запишіть усі дані. Складаючи доказ, першим кроком є ідентифікація та запис усіх даних. Тут найкраще почати, оскільки це допоможе вам подумати про те, що відомо і яка інформація вам потрібна для заповнення доказів. Прочитайте проблему і запишіть кожну інформацію.
- Наприклад: Доведіть, що два кути, що утворюють лінійну пару (кут А та кут В), є додатковими.
- Дано: кут А і кут В утворюють лінійну пару
- Доказ: кут A є додатковим до кута B.
Визначте всі змінні. На додаток до запису даних корисно визначити всі змінні. Напишіть визначення на початку доказів, щоб уникнути плутанини для читача. Якщо змінні не визначені, читач може легко загубитися, намагаючись зрозуміти ваші докази.
- Не використовуйте у доказі змінні, які ще не визначені.
- Наприклад: Змінні - це міри кута A та кута B.
Працюйте назад за допомогою доказів. Найчастіше найлегше думати про проблему назад. Почніть з висновку, що ви намагаєтеся довести, і подумайте про кроки, які можуть повернути вас на початок.
- Відредагуйте кроки на початку та в кінці, щоб побачити, чи подібні вони. Використовуйте дані, ознайомлені з вами визначення та подібні докази.
- Задайте собі питання по дорозі. «Чому це так?» І «Чи є якийсь спосіб неправдивим?» Чи є хороші запитання для будь-якої заяви чи претензії.
- Не забудьте написати кроки послідовно для остаточного доказу.
- Наприклад: Якщо кути А і В є додатковими, то разом вони повинні становити 180 °. Два кути разом утворюють лінію ABC. Ви знаєте, що вони утворюють пряму через визначення лінійних пар. Оскільки пряма лінія дорівнює 180 °, ви можете скористатися заміною, щоб довести, що кут А та кут В складають 180 °.
Розмістіть свої кроки в логічному порядку. Почніть докази на початку і пройдіть шлях до висновку. Хоча корисно подумати про докази, починаючи з висновку і працюючи назад, при поданні фактичних доказів, ви закінчите висновок. Висловлювання в доказах повинні випливати одне з одним, з обґрунтуванням для кожного твердження, щоб не було підстав сумніватися в достовірності ваших доказів.
- Почніть із переліку припущень, з якими ви працюєте.
- Розділіть їх на прості та зрозумілі кроки, щоб читачеві не довелося дивуватися, як один крок логічно перетікає з іншого.
- Не рідко можна сформулювати кілька доказів концепції. Продовжуйте переставляти, поки всі кроки не будуть у найбільш логічному порядку.
- Наприклад: почати з початку.
  - Кут А і кут В утворюють лінійну пару.
  - Кут ABC прямий.
  - Кут ABC дорівнює 180 °.
  - Кут A + кут B = кут ABC.
  - Кут A + кут B = 180 °.
  - Кут A є додатковим до кута B.
Уникайте використання стрілок та скорочень у письмових доказах. Окреслюючи план доказу, ви можете використовувати скорочення та символи, але при написанні остаточного доказу символи, такі як стрілки, можуть заплутати читача. Натомість використовуйте такі слова, як «тоді» або «так».
- Винятками для використання скорочень є: наприклад (наприклад) та тобто (тобто), але переконайтесь, що ви їх правильно використовуєте.
Підкріпіть усі твердження теоремою (теоремою), законом або визначенням. Докази є настільки ж хорошими, як і використані докази. Ви не можете зробити заяву, не обґрунтувавши її визначенням. Для прикладу зверніться до інших подібних доказів.
- Спробуйте застосувати свої докази до справи, коли помилковий повинен бути, і переконатися, що це насправді так. Якщо результат не хибний, відрегулюйте доказ так, щоб він був.
- Багато геометричних доказів записуються як двоколонний доказ із твердженням та доказом. Офіційний математичний доказ, призначений для публікації, складається у вигляді абзацу з правильною граматикою.
Закінчіть це висновком або Q.E.D. Остаточним викладом доказів має бути гіпотеза, яку ви намагалися довести. Після того, як ви зробите це, закрийте доказ останнім символом, таким як Q.E.D. або суцільний квадрат, щоб вказати, що доказ закінчений.
- Q.E.D. розшифровується як "quod erat demonstrandum" (латиною - "те, що потрібно було довести").
- Якщо ви не впевнені, чи ваші свідчення правильні, просто напишіть кількома реченнями, який ваш висновок і чому він вагомий.