Зміст

• Крок
• Частина 1 з 3: Основи аналізу
• Частина 2 з 3: Розуміння похідних
• Частина 3 з 3: Розуміння інтегралів
• Поради

Аналіз (також званий численням) - розділ математики, орієнтований на межі, функції, похідні, інтеграли та нескінченні ряди. Цей предмет охоплює велику кількість математики і лежить в основі багатьох формул та рівнянь, що використовуються у фізиці та механіці. Ймовірно, вам доведеться пройти кілька років математики у середній школі, щоб правильно розуміти аналіз, але ця стаття допоможе вам почати вчитися розпізнавати ключові поняття, а також краще розуміти теорію.

Крок

Частина 1 з 3: Основи аналізу

1. Аналіз - це вивчення того, як речі змінюються. Аналіз - це розділ математики, який вивчає числа та графіки, зазвичай взяті з реальних даних, та пояснює, як вони змінюються. Хоча спочатку це може здатися не дуже корисним, аналіз є однією з найбільш часто використовуваних галузей математики. Уявіть, що у вас є інструменти, які повідомлять вам, наскільки швидко ваш бізнес зростає в будь-який момент, або як скласти схему курсу космічного корабля і як швидко витрачається його паливо. Аналіз є важливим інструментом в техніці, економіці, статистиці, хімії та фізиці, і він сприяв багатьом винаходам і відкриттям.
2. Функції - це зв’язки між двома числами і використовуються для відображення зв’язків. Вони є правилами відношення між числами, і математики використовують їх для складання графіків. У функції кожен вхід має рівно один результат. Наприклад: в ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Подумайте про поняття нескінченності. Нескінченність - це постійне повторення процесу. Це не конкретне місце (не можна йти до нескінченності), а швидше поведінка числа чи рівняння, якщо це зроблено назавжди. Це важливо для вивчення змін: можливо, ви хочете знати, з якою швидкістю рухається ваш автомобіль у будь-який момент часу, але чи така швидкість рухається ваша машина протягом поточної секунди? Мілісекунди? Наносекунда? Ви можете знайти нескінченно менші відрізки часу, щоб бути ще точнішими, і саме тоді з’являється аналіз.
3. Зрозуміти поняття меж. Обмеження говорить вам, що відбувається, коли щось наближається до нескінченності. Візьміть число 1 і поділіть його на 2. Продовжуйте ділити на 2 знову і знову. 1 стає 1/2, а потім 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 і т. Д. Кожен раз, коли число стає все меншим і меншим, "ближчим до" нуля. Але де це зупиняється? Скільки разів потрібно ділити 1 на 2, щоб отримати нуль? Замість того, щоб відповісти на це запитання, ви аналізуєте його обмеження У цьому випадку межа становить.
   • Межі найпростіше візуалізувати на графіку - наприклад, чи є точки, до яких графік майже торкається, але ніколи не зовсім?
   • Обмеження можуть бути чисельними, нескінченними або навіть відсутніми. Наприклад, при послідовності додавання 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... і це триває нескінченно, остаточне число стає нескінченно великим. Тоді межа стає нескінченною.
4. Перегляньте основні математичні поняття алгебри, тригонометрії та основи математики. Аналіз спирається на значну частину математики, яку ви вивчили раніше. Добре поінформоване про всі теми значно полегшує вивчення та розуміння аналізу. Деякі теми, на які слід розглянути:
   • Алгебра. Ви повинні розуміти різні процеси і вміти розв’язувати рівняння та системи рівнянь з кількома змінними. Зрозумійте основи колекцій. Вправлятись у складанні графіків.
   • Геометрія. Геометрія - це вивчення фігур. Ви повинні мати базові знання трикутників, прямокутників і кіл, а також способи обчислення таких речей, як периметр та площа. Зрозумійте кути, лінії та координати
   • Тригонометрія. Тригонометрія - розділ математики, який займається властивостями кіл і прямокутних трикутників. Знати, як використовувати тригонометричні тотожності, графіки, функції та зворотні тригонометричні функції.
5. Придбайте графічний калькулятор. Зрозуміти аналіз непросто, не бачачи, що ти робиш. Графічні калькулятори роблять функції наочними, щоб ви могли краще зрозуміти, з якими рівняннями ви маєте справу. Часто обмеження також відображаються на екрані, а похідні та функції обчислюються автоматично.
   • Багато смартфонів і планшетів сьогодні пропонують недорогі, але ефективні графічні програми, якщо ви не хочете або не можете придбати графічний калькулятор.

Частина 2 з 3: Розуміння похідних

1. Аналіз використовується для вивчення "змін у конкретний момент". Знання того, чому щось змінюється в точний момент, є основою аналізу. Наприклад, аналіз дає вам не тільки швидкість автомобіля, але й те, наскільки ця швидкість змінюється в будь-який момент часу. Це одне з найпростіших методів використання аналізу, але дуже важливе. Уявіть, наскільки важлива така інформація для визначення швидкості руху космічного корабля до Місяця!
   • Визначення змін у певний момент часу має диференціювати. Диференціація - це перша з двох основних галузей аналізу.
2. Використовуйте похідні, щоб зрозуміти, як все змінюється в певний момент. «Похідне» - приємне слово для того, що часто нервує учнів. Однак сама концепція не така важка для розуміння - вона просто означає "як швидко щось змінюється". Похідні, з якими ви найбільше стикаєтеся у повсякденному житті, пов’язані зі швидкістю. Однак ви зазвичай не називаєте це "похідною швидкості", а просто "прискоренням".
   • Прискорення є похідною - воно повідомляє вам, як швидко щось прискорюється або сповільнюється, або як змінюється його швидкість.
3. Знайте, що швидкість змін дорівнює нахилу між двома точками. Це одне з найважливіших відкриттів аналізу. Швидкість зміни між двома точками дорівнює нахилу лінії між цими двома точками. Просто подумайте про простий рядок, такий як рівняння ${ displaystyle y = 3x.}$Знайте, що ви можете визначити нахил кривих ліній. Визначити нахил прямої лінії порівняно просто: скільки змін ${ displaystyle y}$Якщо ви хочете обчислити зміну точніше, переконайтесь, що точки розташовані ближче один до одного. Чим ближче ви обираєте два моменти, тим точніше ваша відповідь. Припустимо, ви хочете знати, наскільки ваш автомобіль прискорюється при натисканні на акселератор. Ви не хочете вимірювати зміну швидкості між вашим будинком і супермаркетом, а зміну швидкості з моменту натискання на акселератор. Чим ближче ваше читання наближається до цієї частки секунди, тим точніше ваш розрахунок зміни.
   • Наприклад, вчені досліджують, як швидко деякі види вимирають, щоб їх врятувати. Однак взимку більше тварин гине, ніж влітку, тому вивчати швидкість змін протягом року неційно - краще визначати швидкість змін протягом меншого періоду, наприклад, з 1 липня по 1 серпня.
4. Використовуйте нескінченно короткі рядки, щоб визначити "миттєву швидкість змін", або знайдіть похідну. Тут аналіз часто стає дещо заплутаним, але насправді це результат двох простих фактів. Перш за все, ви знаєте, що нахил лінії дорівнює швидкості зміни цієї лінії. По-друге, ви знаєте, що чим ближче точки лінії будуть один до одного, тим точнішим буде читання. Але як ви знайдете швидкість зміни в даній точці, якщо нахил є відношенням між двома точками? Відповідь: Ви вибираєте дві точки, які нескінченно близько розташовані одна до одної.
   • Розглянемо приклад, коли ви продовжуєте ділити 1 на 2, отримуючи таким чином 1/2, 1/4, 1/8 тощо. Тож у підсумку ви наближаєтесь до нуля, а відповідь - "майже нуль". Точки настільки близькі один до одного, що вони "майже рівні між собою". Така природа похідних.
5. Дізнайтеся, як визначити різні похідні. Існує маса різних методів пошуку похідної залежно від рівняння, але більшість із них мають сенс, якщо ви запам'ятали основи похідних вище. Усі похідні - це спосіб знаходження нахилу "нескінченно малої" лінії. Тепер, коли ви знаєте більше про теорію похідних, велика частина роботи полягає у пошуку відповідей.
6. Знайдіть похідні рівняння, щоб передбачити швидкість змін у будь-який час. Корисно використовувати похідні для визначення швидкості змін у будь-який момент часу, але суть аналізу полягає в тому, що ви можете створити нову модель для будь-якої функції. Похідна від ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Якщо вам це важко зрозуміти, спробуйте згадати реальні приклади похідних. Найпростіший приклад базується на швидкості, яка охоплює безліч різних похідних, з якими ми стикаємося щодня. Не забудь: похідна - міра того, як швидко щось змінюється. Подумайте про простий експеримент. Ви катаєте мармур по столу і кожен раз вимірюєте, наскільки він рухається і як швидко. А тепер уявіть, що мармуровий мармур йде за лінією на графіку - ви використовуєте похідні для вимірювання миттєвих змін у будь-який час на цій лінії.
   • Як швидко рухається мармур? З якою швидкістю змінюється положення (або похідне) рухомого мармуру? Ми називаємо цю похідну "швидкістю".
   • Покатайте мармур уздовж схилу і спостерігайте, як змінюється швидкість. Яка швидкість зміни або похідна швидкості мармуру? Цю похідну ми називаємо "прискоренням".
   • Катайте мармур вздовж хвилястої доріжки, наприклад, американських гірок. Наскільки мармур набирає швидкість, коли він котиться вниз, і наскільки мармур сповільнюється вгору? Як швидко рухається мармур, коли він знаходиться на півдорозі до першого пагорба? Це миттєва швидкість зміни або похідна цього мармуру в цій конкретній точці.

Частина 3 з 3: Розуміння інтегралів

1. Знайте, що за допомогою аналізу можна знайти складні області та обсяги. За допомогою аналізу ви можете виміряти складні фігури, які в іншому випадку важко виміряти. Розглянемо, наприклад, проблему, через яку ви хочете знати, скільки води містить довге озеро неправильної форми - неможливо виміряти кожен літр води окремо або скористатися лінійкою для вимірювання форми озера. За допомогою аналізу ви можете вивчити, як змінюються краї озера, а потім використати цю інформацію, щоб з’ясувати, скільки води воно містить.
   • Виготовлення геометричних моделей та вивчення об’ємів інтегрувати. Інтегроване числення - друга важлива галузь аналізу.
2. Знайте, що інтеграція - це область під графіком. Інтеграція використовується для вимірювання простору під лінією, що дозволяє визначити площу дивних або неправильних фігур. Візьміть рівняння ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Знайте, що ви повинні вибрати область для інтеграції. Ви не можете просто інтегрувати цілу функцію. Наприклад, ${ displaystyle y = x}$Подумайте, як обчислити площу прямокутника. Припустимо, у вас є рівна лінія над графіком, наприклад ${ displaystyle y = 4.}$Знайте, що в інтегральному числення багато маленьких прямокутників складаються разом, щоб знайти площу площі. Коли ви надзвичайно збільшуєте криву, вона видається прямою лінією. Ви бачите це щодня - ви не можете сприйняти кривизну землі, оскільки ви так близько до земної поверхні. Інтеграція створює нескінченну кількість маленьких прямокутників під кривою, які настільки малі, що вони в основному плоскі, що дозволяє вам їх підрахувати. Всі ці прямокутники, складені разом, утворюють площу площі під кривою.
   • Припустимо, ви складаєте багато маленьких сегментів під графіком, і це ширина кожного сегмента майже дорівнює нулю.
3. Умійте правильно читати та записувати інтеграли. Інтеграли складаються з 4 частин. Типовий інтеграл виглядає так:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Дізнайтеся більше про пошук інтегралів. Інтеграція буває різних форм, і вам потрібно вивчити безліч різних формул, щоб інтегрувати кожну функцію. Однак усі вони дотримуються принципів, викладених вище: інтеграція - це сума нескінченної кількості речей.
   • Інтегрувати заміною.
   • Обчисліть невизначені інтеграли.
   • Інтегруйте, поділившись.
4. Знайте, що інтеграція є зворотною диференціацією і навпаки. Це правило аналізу, яке є настільки важливим, що воно отримало свою власну назву: Основна теорема інтегрального обчислення.Оскільки інтеграція та диференціація настільки тісно пов’язані, комбінація двох може бути використана для визначення швидкості змін, прискорення, швидкості, місця розташування, руху тощо, незалежно від того, якою інформацією ви володієте.
   • Наприклад, пам’ятайте, що похідною швидкості є прискорення, тому ви можете використовувати швидкість, щоб знайти прискорення. Але якщо ви знаєте лише прискорення чогось (наприклад, об’єктів, що падають під дією сили тяжіння), тоді ви можете інтегрувати, щоб відновити швидкість!
5. Знайте, що за допомогою інтеграції ви також можете контролювати гучність тривимірних об’єктів. Обертання плоскої форми - один із способів створити тривимірні тверді тіла. Уявіть, як на столі крутиться монета - зауважте, як монета набуває форми кулі, коли вона обертається. Ця концепція дозволяє визначити об'єм відповідно до процесу, відомого як "об'єм обертанням".
   • Це дозволяє визначити об'єм будь-якого твердого речовини, якщо у вас є функція, яка його представляє. Наприклад, ви можете створити функцію, яка відстежує дно озера, а потім використовувати її для визначення обсягу озера або кількості води, яке воно містить.

Поради

• Практика робить ідеальним, тому виконуйте практичні вправи у своєму підручнику - навіть ті, які ваш учитель не давав - і перевіряйте відповіді, щоб допомогти вам краще зрозуміти поняття.
• Якщо ви не можете знайти рішення, запитайте свого вчителя.